Решение

Если решать данную задачу через условие равновесия $$F_k=mg,$$ то вы получите неверный ответ, т.к. такое равновесие будет неустойчивым.

Для проверки устойчивости необходимо отклонить шарик на малый угол $\alpha\longrightarrow0$; $(\sin{\alpha}\approx\alpha)$ и рассмотреть, при каких $q$ будет возникать возвращающая сила.

Следует заметить, что при малых отклонениях силу Кулона можно считать постоянной $$F_k=\text{const}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{4R^2}$$

Рассмотрим проекции сил на ось $Ox$, параллельную касательной к сфере в точке контакта с шариком (наклонена под углом к $\alpha$ горизонту): $$(mg)_x=-mg \cdot \sin{\alpha}$$ $$(N)_x=0$$ $$(F_k)_x=F_k \cdot \sin{\alpha /2}$$ В данном случае сила Кулона должна быть существенно больше mg, т.е. шарик не упадёт, но может скатиться по стенке, а значит равновесие будет являться устойчивым, если сумма проекций всех сил на $Ox$ будет больше нуля $$F_k \cdot \sin{\alpha /2}-mg \cdot \sin{\alpha}=0$$ $$F_k=mg \cdot \frac{\alpha}{\alpha /2}$$ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{4R^2}=2mg$$ $$q=\frac{32\pi\varepsilon_0mgR^2}{Q}$$