Решение

В первой схеме вольтметр напрямую подключен к источнику напряжения. Его сопротивление можно выразить как:

$$R_{V} = \frac{U_{1} }{I_{1}}$$

Для второй схемы можно записать

Во второй схеме резистор и вольтметр подключены параллельно. Ток $I_2$, подаваемый на схему, делится на ток через резистор $I_R$ и ток через вольтметр $I_V$:

$$I_{2} = I_{R} + I_{V}$$

Отсюда ток через резистор:

$$I_{R} = I_{2} - I_{V} = I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} }$$

Теперь сопротивление резистора $R$ выражается как:

$$R = \frac{U_{2} }{I_{R} } = \frac{U_{2} }{I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} } }$$

Подставим $R_V = \frac{U_1}{I_1}$:

$$R= \frac{U_{2} }{I_{2} - I_{1} \frac{U_{2} }{U_{1} } }$$

Приведем к удобному виду:

$$R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$$

В третьей схеме амперметр подключен последовательно с резистором. Напряжение $U_3$ распределяется между резистором $R$ и амперметром $R_A$:

$$U_{3} = I_{3} (R_{A} + R)$$

Отсюда выражаем $R_A$:

$$R_{A} = \frac{U_{3} }{I_{3} } - R$$

Подставим ранее полученное $R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$:

$$R_A = \frac{U_{3} }{I_{3} } - \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$$

Приводя к общему знаменателю, упрощаем полученное выражение:

$$R_A = \frac{U_{1}U_{3}I_{2} - U_{3}U_{2}I_{1} - U_{2}U_{1}I_{3} }{I_{3} (U_{1}I_{2} - U_{2}I_{1} ) }$$