Решение

Рассмотрим следующий рисунок

Применение второго закона Кирхгофа. Для контура $I$ $$-i_{11}R_1-i_{22}R_2+i_{21}R_2=0$$ $$-i_{11}R_1+R_2(i_{21}-i_{22})=0 \quad(1)$$ Так как $i_{11}R_1 = 10 i_{12}R_1$, то есть, $i_{1n} = 10 i_{1(n+1)}$, следовательно $$i_{1n} = \frac{i_{11}}{10^{n-1}} \;\forall~n\geq2 \quad(2)$$ Для контура $II$ и согласно $(2)$ $$-i_{N+1}(R_1+r)+i_{2N}R_2=0$$ $$-\frac{i_{11}}{10^{N-1}}(R_1+r)+i_{2N}R_2=0 \quad(3)$$ Для последующих бифуркаций (с применением первого закона Кирхгофа) $$i_{11} = i_{12}+i_{22}$$ $$i_{22} = i_{11}-i_{12}$$ Таким образом, $$i_{2n} = i_{1(n-1)}-i_{1n} \;\forall~n\geq2 \quad(4)$$ Согласно $(2)$, изменим $(4)$ $$i_{2n} = \frac{i_{11}}{10^{n-2}}-\frac{i_{11}}{10^{n-1}}$$ $$i_{2n} = \frac{9i_{11}}{10^{n-1}} \quad(5)$$ Подставим $(5)$ в $(3)$ $$9R_2 = R_1+r \quad(6)$$ Подставим $(5)$ в $(1)$ $$R_1 = \frac{81}{10} R_2 \quad(7)$$ Наконец, решая систему уравнений, образованную $(6)$ и $(7)$, получаем $$\boxed{R_1 = 9r}$$ $$\boxed{R_2 = \frac{10}{9}r}$$