Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#8.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$8.3.15^*.$ Аттенюатор представляет собой делитель напряжения, схема которого представлена на рисунке. Каковы должны быть сопротивления $R_1$ и $R_2$, чтобы на каждом следующем сопротивлении $R_1$ напряжение было в десять раз меньше, чем на предыдущем?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
К задаче 8.3.15
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Рассмотрим следующий рисунок
</p>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" alt="8.3.15" width="450" />
<figcaption>
Анализ электрической цепи
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Применение второго закона Кирхгофа. Для контура $I$
$$-i_{11}R_1-i_{22}R_2+i_{21}R_2=0$$
$$-i_{11}R_1+R_2(i_{21}-i_{22})=0 \\;(1)$$
Так как $i_{11}R_1 = 10 i_{12}R_1$, то есть, $i_{1n} = 10 i_{1(n+1)}$, следовательно
$$i_{1n} = \frac{i_{11}}{10^{n-1}} \\;\forall\~n\geq2 \\;(2)$$
Для контура $II$ и согласно $(2)$
$$-i_{N+1}(R_1+r)+i_{2N}R_2=0$$
$$-\frac{i_{11}}{10^{N-1}}(R_1+r)+i_{2N}R_2=0 \\;(3)$$
Для последующих бифуркаций (с применением первого закона Кирхгофа)
$$i_{11} = i_{12}+i_{22}$$
$$i_{22} = i_{11}-i_{12}$$
Таким образом,
$$i_{2n} = i_{1(n-1)}-i_{1n} \\;\forall\~n\geq2 \\;(4)$$
Согласно $(2)$, изменим $(4)$
$$i_{2n} = \frac{i_{11}}{10^{n-2}}-\frac{i_{11}}{10^{n-1}}$$
$$i_{2n} = \frac{9i_{11}}{10^{n-1}} \\;(5)$$
Подставим $(5)$ в $(3)$
$$9R_2 = R_1+r \\;(6)$$
Подставим $(5)$ в $(1)$
$$R_1 = \frac{81}{10} R_2 \\;(7)$$
Наконец, решая систему уравнений, образованную $(6)$ и $(7)$, получаем
$$\boxed{R_1 = 9r}$$
$$\boxed{R_2 = \frac{10}{9}r}$$
</p>
<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
BSc. Luis Daniel Fernández Quintana<br>
Physics Department (FCNE)<br>
Universidad de Oriente, Cuba<br>
</p>
Savchenko Solutions