Решение

На частицу действует единственная внешняя сила $\vec{F}$, направленная вдоль оси $x$.
Таким образом, компонента скорости по оси $y$ не изменяется во время движения частицы:

$$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\tag{1}$$

Работа силы $F$ уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем:

$$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\tag{2}$$

Упрощаем:

$$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\tag{3}$$

Из $(1)$ выразим $\sin\beta$ и подставим в $(2)$:

$$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\tag{4}$$

Разделим обе части уравнения на $v_0^2$

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{5}$$

Выражаем cинус угла $\beta$:

$$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\tag{6}$$

Рассмотрим область определения синуса угла $\beta$ из уравнения $(6)$

Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$:

$$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\tag{7}$$

Т.к. $\sin\beta\leq 1$:

$$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{8}$$

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем:

$$FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\tag{9}$$