Решение

Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу.

Запишем закон сохранения импульса

$$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1} \quad (1)$$

здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями.

Проецируем это уравнение на ось $Ox$:

$$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 \quad(2)$$

Упростим уравнение, перегруппировав:

$$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)\quad(3)$$

Из уравнения $(3)$ следует, что $m_1 = m_2.$

Проверим, является ли столкновение упругим. Для этого запишем закон сохранения кинетической энергии:

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \quad (4)$$

Перегруппируем полученное уравнение:

$$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)\quad(5)$$

Из уравнения $(5)$ следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение $(4)$ выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы.