Edit to “Решение”
ru/2.5.1.md
+3 −3
| ### Условие: | |||
| $2.5.1.$ Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим? | |||
| ### Решение: | |||
| Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу. | |||
| Запишем закон сохранения импульса | |||
| $$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1} \quad (1)$$ | |||
| здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями. | |||
| @@ -14,11 +14,11 @@Решение: | |||
| Проецируем это уравнение на ось $Ox$: | |||
| − | $$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 | ||
| + | $$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 \tag{2}$$ | ||
| Упростим уравнение, перегруппировав: | |||
| − | $$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2) | ||
| + | $$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)\tag{3}$$ | ||
| Из уравнения $(3)$ следует, что $m_1 = m_2.$ | |||
| Проверим, является ли столкновение упругим. Для этого запишем закон сохранения кинетической энергии: | |||
| $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \quad (4)$$ | |||
| @@ -28,8 +28,8 @@Решение: | |||
| Перегруппируем полученное уравнение: | |||
| − | $$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2) | ||
| + | $$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)\tag{5}$$ | ||
| Из уравнения $(5)$ следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение $(4)$ выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы. | |||
| #### Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$; да | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.5.1.$ Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим? | $2.5.1.$ Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу. | Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу. | ||
| Запишем закон сохранения импульса | Запишем закон сохранения импульса | ||
| $$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1} \quad (1)$$ | $$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1} \quad (1)$$ | ||
| здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями. | здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями. | ||
| @@ -14,11 +14,11 @@Решение: | |||
| Проецируем это уравнение на ось $Ox$: | Проецируем это уравнение на ось $Ox$: | ||
| $$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 |
$$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 \tag{2}$$ | ||
| Упростим уравнение, перегруппировав: | Упростим уравнение, перегруппировав: | ||
| $$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2) |
$$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)\tag{3}$$ | ||
| Из уравнения $(3)$ следует, что $m_1 = m_2.$ | Из уравнения $(3)$ следует, что $m_1 = m_2.$ | ||
| Проверим, является ли столкновение упругим. Для этого запишем закон сохранения кинетической энергии: | Проверим, является ли столкновение упругим. Для этого запишем закон сохранения кинетической энергии: | ||
| $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \quad (4)$$ | $$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \quad (4)$$ | ||
| @@ -28,8 +28,8 @@Решение: | |||
| Перегруппируем полученное уравнение: | Перегруппируем полученное уравнение: | ||
| $$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2) |
$$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)\tag{5}$$ | ||
| Из уравнения $(5)$ следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение $(4)$ выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы. | Из уравнения $(5)$ следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение $(4)$ выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы. | ||
| #### Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$; да | #### Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$; да | ||