Решение

В данном случае на шарики действуют 3 силы: сила натяжения $\vec{T}$, направленная вдоль нити (под углом $45^{\circ}$ к горизонту); силы тяжести $m\vec{g}$ и силы Кулона $\vec{F_k}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$$\left\{ \begin{gathered} Ox: F_k-T\cdot\cos{45^{\circ}}=0\tag{1} \\ Oy: T\cdot\sin{45^{\circ}}-mg=0\tag{2} \\ \end{gathered} \right.$$

Отсюда следуют равенства для силы тяжести $m\vec{g}$ и силы Кулона $\vec{F_k}$

$$\left\{ \begin{gathered} F_k=T\cdot\cos{45^{\circ}}\quad{(3)} \\ mg=T\cdot\sin{45^{\circ}}\quad{(4)} \\ \end{gathered} \right.$$

Разделив одно уравнение на другое, получаем

$$\frac{F_k}{mg}=\cot{45^{\circ}}=1\tag{5}$$

Данное равенство можно переписать в виде:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(\frac{\ell}{\cos{45^{\circ}}})^2}=mg\tag{6}$$

Откуда, выражаем заряд шариков

$$q=\sqrt{4\pi\varepsilon_0mg(\sqrt{2}\ell)^2}\Rightarrow \boxed{q=\ell\sqrt{8\pi\varepsilon_0mg}}\tag{7}$$