| @@ -1,44 +1,35 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.23.$ [Вставьте описание задачи] |
| $2.7.23.$ По шероховатой горизонтальной поверхности катится без проскальзывания со скоростью $v$ тонкое кольцо. Через какое время после упругого удара о гладкую вертикальную стенку кольцо остановится, если коэффициент трения кольца о поверхность равен $µ$? Опишите качественно движение сплошного диска после удара. |
| |
| |
| __Пример условия__: |
| #### Решение |
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| Упругий удар о стену перенаправит линейную скорость в противоположную сторону, но вектор угловой скорости меняться не будет, следоваетльно начнётся проскальзование. |
| |
| |
| |
| Запишем закон изменения момента импульса: |
| |
| $$L-L_0=-MΔt$$ |
| |
| Где $L$ и $L_0$ - конечный и начальный моменты импульса соответсвенно; |
| |
| |
| ### Решение |
| $M$ - момент сил |
| |
| |
| [Здесь должно быть ваше решение] |
| $Δt$ - время остановки. |
| |
| |
| __Пример решения__: |
| Запишем моменты сил, импульса и инерции кольца: |
| Ускорение тела задано как |
| $$M=μmgR$$ |
| |
| $$L_0=Iω$$ |
| |
| $$L=0$$ |
| |
| $$I=mR²$$ |
| |
| |
| $$a(t) = bt$$ |
| Где $m$ - масса кольца; |
| |
| |
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| $R$ - радиус кольца; |
| |
| |
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| $ω$ - угловая скорость кольца ($ω=\frac{v}{R}$) |
| |
| |
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| Подставим это в закон изменения импульса: |
| |
| $$\frac{-mR²v}{R}=-μmgRΔt$$ |
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| Сокращаем что можем, получаем: |
| |
| $$v=μgΔt$$ |
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| Получаем ответ: |
| |
| $$\boxed{Δt=\frac{v}{μg}}$$ |
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $$Δt=\frac{v}{μg}$$ |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| |
| |
| |
| |
| |
| __Пример ответа__: |
| |
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| |
