Edit to “Решение”
ru/2.6.22.md
+3 −1
| ### Условие | |||
| $2.6.22.$ Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы m с Землей $U = -γMm/r$, где $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние | |||
| от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии $∆U$ при | |||
| подъеме тела на высоту $h$ с поверхности Земли. Какая относительная ошибка | |||
| возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо $∆U$? Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$, радиус Земли $R$. | |||
| #### Решение | |||
| Для начала найдем приращение потенциальной энергии: | |||
| $$\Delta U=U-U_0$$ | |||
| $$U=\frac{-γMm}{R+h}$$ | |||
| $$U_0=\frac{-γMm}{R}$$ | |||
| Подставим послдение вда уравнение в первое: | |||
| $$\Delta U=-\frac{γMm}{R+h}-(-\frac{γMm}{R})\Rightarrow$$ | |||
| @@ -15,9 +15,11 @@Решение | |||
| $$\Rightarrow \boxed{\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}}$$ | |||
| Относительная ошибка находится по отношению разницы приближенного и верного значений к верному значению, то есть: | |||
| $$\varepsilon=\frac{mgh-\Delta U}{\Delta U}$$ | |||
| − | Подставив приращение потенциальной энергии, получим ответ: | ||
| + | Мы знаем что ускорение свободного падения у поверхности высчитывается по формуле: | ||
| + | $$g=\frac{\gamma M}{R^2}$$ | ||
| + | Подставив приращение потенциальной энергии и ускорение свободного падения, получим ответ: | ||
| $$\boxed{\varepsilon=\frac{h}{R}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}$$ | |||
| $$\varepsilon=\frac{h}{R}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.22.$ Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы m с Землей $U = -γMm/r$, где $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние | $2.6.22.$ Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшого тела массы m с Землей $U = -γMm/r$, где $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние | ||
| от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии $∆U$ при | от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии $∆U$ при | ||
| подъеме тела на высоту $h$ с поверхности Земли. Какая относительная ошибка | подъеме тела на высоту $h$ с поверхности Земли. Какая относительная ошибка | ||
| возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо $∆U$? Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$, радиус Земли $R$. | возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо $∆U$? Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$, радиус Земли $R$. | ||
| #### Решение | #### Решение | ||
| Для начала найдем приращение потенциальной энергии: | Для начала найдем приращение потенциальной энергии: | ||
| $$\Delta U=U-U_0$$ | $$\Delta U=U-U_0$$ | ||
| $$U=\frac{-γMm}{R+h}$$ | $$U=\frac{-γMm}{R+h}$$ | ||
| $$U_0=\frac{-γMm}{R}$$ | $$U_0=\frac{-γMm}{R}$$ | ||
| Подставим послдение вда уравнение в первое: | Подставим послдение вда уравнение в первое: | ||
| $$\Delta U=-\frac{γMm}{R+h}-(-\frac{γMm}{R})\Rightarrow$$ | $$\Delta U=-\frac{γMm}{R+h}-(-\frac{γMm}{R})\Rightarrow$$ | ||
| @@ -15,9 +15,11 @@Решение | |||
| $$\Rightarrow \boxed{\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}}$$ | $$\Rightarrow \boxed{\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}}$$ | ||
| Относительная ошибка находится по отношению разницы приближенного и верного значений к верному значению, то есть: | Относительная ошибка находится по отношению разницы приближенного и верного значений к верному значению, то есть: | ||
| $$\varepsilon=\frac{mgh-\Delta U}{\Delta U}$$ | $$\varepsilon=\frac{mgh-\Delta U}{\Delta U}$$ | ||
| Подставив приращение потенциальной энергии, получим ответ: | Мы знаем что ускорение свободного падения у поверхности высчитывается по формуле: | ||
| $$g=\frac{\gamma M}{R^2}$$ | |||
| Подставив приращение потенциальной энергии и ускорение свободного падения, получим ответ: | |||
| $$\boxed{\varepsilon=\frac{h}{R}}$$ | $$\boxed{\varepsilon=\frac{h}{R}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}$$ | $$\Delta U=\gamma \frac{Mmh}{R(R+h)}$$ | ||
| $$\varepsilon=\frac{h}{R}$$ | $$\varepsilon=\frac{h}{R}$$ | ||