Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.7.34.md
+21 −40
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.34.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.7.34.$ На покоящемся однородном горизонтальном диске массы $m_1$ и радиуса $R$ стоит человек массы $m_2$. Диск может без трения вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью начнет | ||
| + | вращаться диск, если человек пойдет по окружности радиуса $r$ вокруг оси диска | ||
| + | со скоростью $v$ относительно него? Радиус диска много больше роста человека. | ||
| + | |||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем закон сохранения момента импульса: | ||
| + | $$I\omega-m_2ur=0$$ | ||
| + | Скорость $u$ это скорость в абсолютной системе отсчета, запишем уравнение скорости относительно диска: | ||
| + | $$v=u+\omega r$$ | ||
| + | Выведем отсюда скорость $u$: | ||
| + | $$u=v-\omega r$$ | ||
| + | Момент инерции диска находится по следующей формуле: | ||
| + | $$I=\frac{m_1R^2}{2}$$ | ||
| + | Подставим: | ||
| + | $$\frac{m_1R^2}{2}\omega=m_2(v-\omega r)r$$ | ||
| + | Решаем: | ||
| + | $$m_1\omega R^2=2m_2vr-2m_2\omega r^2 \Rightarrow$$ | ||
| + | $$\Rightarrow\omega(m_1R^2+2m_2r^2)=2m_2vr$$ | ||
| + | Отсюда получаем ответ: | ||
| + | $$\boxed{\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}}$$ | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}$$ | ||
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.34.$ [Вставьте описание задачи] | $2.7.34.$ На покоящемся однородном горизонтальном диске массы $m_1$ и радиуса $R$ стоит человек массы $m_2$. Диск может без трения вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью начнет | ||
| вращаться диск, если человек пойдет по окружности радиуса $r$ вокруг оси диска | |||
| со скоростью $v$ относительно него? Радиус диска много больше роста человека. | |||
| #### Решение | |||
| Запишем закон сохранения момента импульса: | |||
| $$I\omega-m_2ur=0$$ | |||
| Скорость $u$ это скорость в абсолютной системе отсчета, запишем уравнение скорости относительно диска: | |||
| $$v=u+\omega r$$ | |||
| Выведем отсюда скорость $u$: | |||
| $$u=v-\omega r$$ | |||
| Момент инерции диска находится по следующей формуле: | |||
| $$I=\frac{m_1R^2}{2}$$ | |||
| Подставим: | |||
| $$\frac{m_1R^2}{2}\omega=m_2(v-\omega r)r$$ | |||
| Решаем: | |||
| $$m_1\omega R^2=2m_2vr-2m_2\omega r^2 \Rightarrow$$ | |||
| $$\Rightarrow\omega(m_1R^2+2m_2r^2)=2m_2vr$$ | |||
| Отсюда получаем ответ: | |||
| $$\boxed{\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}}$$ | |||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||