| @@ -1,44 +1,27 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.35.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.35.$ На краю свободно вращающегося с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси диска, имеющего радиус $R$ и момент инерции $J$, стоит человек |
| | + | массы $m$. Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при |
| | + | этом? Размерами человека по сравнению с размерами диска пренебречь. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем закон сохранения момента импульса: |
| | + | $$(J+mR^2)\omega=J\omega'$$ |
| | + | Отсюда видно, что с уменьшением момента инерции угловая скорость растет, то есть, если мы ищем изменение угловой скорости, мы можем переписать уравнение в следущем виде: |
| | + | $$(J+mR^2)\omega=J(\omega+\Delta\omega)$$ |
| | + | Сокращаем что можем: |
| | + | $$mR^2\omega=J\Delta\omega$$ |
| | + | Получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}}$$ |
| | + | Найдем кинетическую энергию для начального и конечного моментов: |
| | + | $$K_0=\frac{(J+mR^2)\omega^2}{2}$$ |
| | + | $$K=\frac{J(\omega+\Delta\omega)^2}{2}$$ |
| | + | Зная изменение угловой скорости, можем переписать уравнение в этом виде: |
| | + | $$K=\frac{(J+mR^2)^2\omega^2}{2J}$$ |
| | + | Найдем отношение между энергиями системы в начале и в конце: |
| | + | $$\boxed{\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}}$$ |
| | + | Ответ больше $1$, то есть кинетическая энергия системы возрастает. |
| | | |
| | − | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}$$ |
| | + | $$\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}$$ |
