2.7.35. На краю свободно вращающегося с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси диска, имеющего радиус $R$ и момент инерции $J$, стоит человек массы $m$. Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при этом? Размерами человека по сравнению с размерами диска пренебречь.
Решение
Запишем закон сохранения момента импульса:
$$(J+mR^2)\omega=J\omega'$$
Отсюда видно, что с уменьшением момента инерции угловая скорость растет, то есть, если мы ищем изменение угловой скорости, мы можем переписать уравнение в следущем виде:
$$(J+mR^2)\omega=J(\omega+\Delta\omega)$$
Сокращаем что можем:
$$mR^2\omega=J\Delta\omega$$
Получаем ответ:
$$\boxed{\Delta\omega=\frac{m\omega R^2}{J}}$$
Найдем кинетическую энергию для начального и конечного моментов:
$$K_0=\frac{(J+mR^2)\omega^2}{2}$$
$$K=\frac{J(\omega+\Delta\omega)^2}{2}$$
Зная изменение угловой скорости, можем переписать уравнение в этом виде:
$$K=\frac{(J+mR^2)^2\omega^2}{2J}$$
Найдем отношение между энергиями системы в начале и в конце:
$$\boxed{\frac{K}{K_0}=1+\frac{mR^2}{J}}$$
Ответ больше $1$, то есть кинетическая энергия системы возрастает.