Решение

Запишем закон сохранения момента импульса:

$$I\omega-m_2ur=0$$

Скорость $u$ это скорость в абсолютной системе отсчета, запишем уравнение скорости относительно диска:

$$v=u+\omega r$$

Выведем отсюда скорость $u$:

$$u=v-\omega r$$

Момент инерции диска находится по следующей формуле:

$$I=\frac{m_1R^2}{2}$$

Подставим:

$$\frac{m_1R^2}{2}\omega=m_2(v-\omega r)r$$

Решаем:

$$m_1\omega R^2=2m_2vr-2m_2\omega r^2 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\omega(m_1R^2+2m_2r^2)=2m_2vr$$

Отсюда получаем ответ:

$$\boxed{\omega=\frac{2m_2vr}{m_1R^2+2m_2r^2}}$$