Edit to “Условие”
ru/4.3.12.md
+1 −2
| @@ -1,7 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.3.12.$ | ||
| − | Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от $H$ до $h$? | ||
| + | $4.3.12.$ Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от $H$ до $h$? | ||
| ### Решение | |||
| Конечно, можно сказать, что "Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшатся в $\frac H h$ раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в $\sqrt H/h$ раз. Поэтому скорость понижения уровня уменьшится в $(H/h)^{\frac 5 2}$ раз", но гораздо интереснее узнать, как зависит объем вытекающий в единицу времени от высоты. | |||
| По формуле Торричелли: | |||
| $$ v = \sqrt {2gh}$$ | |||
| В нашем случае так как высоту мы будем отсчитывать от земли: | |||
| $$ v = \sqrt {2g(H-h)}$$ | |||
| Разобьем Большой треугольник на бесконечно маленькие прямоугольники, обозначим основание треугольника за $a$: | |||
| $$S_i = \frac {ah}H dh$$ | |||
| Поток жидкости через эту площадь: | |||
| $$q_i = v(h)S_i$$ | |||
| Общий поток через всю поверхность: | |||
| $$Q_H = \int_{0}^{H} v(h) \frac {ah}H\,dh = \int_{0}^{H} \frac {ah}H \sqrt{2g(H-h)}\,dh = \frac 4 {15} a H \sqrt{2gH} $$ | |||
| Для меньшего треугольника с высотой $h$, основание $a_h$ | |||
| $$a_h = a \frac h H$$ | |||
| $$Q_h = \frac4 {15} \sqrt{2gh} h^2 \frac a H$$ | |||
| $$ n= \frac {Q_H} {Q_h} = (H/h)^ \frac 5 2$$ | |||
| #### Ответ: $(H/h)^ \frac 5 2$ | |||
| unchanged lines 31 | |||
| @@ -1,7 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.3.12.$ | $4.3.12.$ Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от $H$ до $h$? | ||
| Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от $H$ до $h$? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Конечно, можно сказать, что "Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшатся в $\frac H h$ раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в $\sqrt H/h$ раз. Поэтому скорость понижения уровня уменьшится в $(H/h)^{\frac 5 2}$ раз", но гораздо интереснее узнать, как зависит объем вытекающий в единицу времени от высоты. | Конечно, можно сказать, что "Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшатся в $\frac H h$ раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в $\sqrt H/h$ раз. Поэтому скорость понижения уровня уменьшится в $(H/h)^{\frac 5 2}$ раз", но гораздо интереснее узнать, как зависит объем вытекающий в единицу времени от высоты. | ||
| По формуле Торричелли: | По формуле Торричелли: | ||
| $$ v = \sqrt {2gh}$$ | $$ v = \sqrt {2gh}$$ | ||
| В нашем случае так как высоту мы будем отсчитывать от земли: | В нашем случае так как высоту мы будем отсчитывать от земли: | ||
| $$ v = \sqrt {2g(H-h)}$$ | $$ v = \sqrt {2g(H-h)}$$ | ||
| Разобьем Большой треугольник на бесконечно маленькие прямоугольники, обозначим основание треугольника за $a$: | Разобьем Большой треугольник на бесконечно маленькие прямоугольники, обозначим основание треугольника за $a$: | ||
| $$S_i = \frac {ah}H dh$$ | $$S_i = \frac {ah}H dh$$ | ||
| Поток жидкости через эту площадь: | Поток жидкости через эту площадь: | ||
| $$q_i = v(h)S_i$$ | $$q_i = v(h)S_i$$ | ||
| Общий поток через всю поверхность: | Общий поток через всю поверхность: | ||
| $$Q_H = \int_{0}^{H} v(h) \frac {ah}H\,dh = \int_{0}^{H} \frac {ah}H \sqrt{2g(H-h)}\,dh = \frac 4 {15} a H \sqrt{2gH} $$ | $$Q_H = \int_{0}^{H} v(h) \frac {ah}H\,dh = \int_{0}^{H} \frac {ah}H \sqrt{2g(H-h)}\,dh = \frac 4 {15} a H \sqrt{2gH} $$ | ||
| Для меньшего треугольника с высотой $h$, основание $a_h$ | Для меньшего треугольника с высотой $h$, основание $a_h$ | ||
| $$a_h = a \frac h H$$ | $$a_h = a \frac h H$$ | ||
| $$Q_h = \frac4 {15} \sqrt{2gh} h^2 \frac a H$$ | $$Q_h = \frac4 {15} \sqrt{2gh} h^2 \frac a H$$ | ||
| $$ n= \frac {Q_H} {Q_h} = (H/h)^ \frac 5 2$$ | $$ n= \frac {Q_H} {Q_h} = (H/h)^ \frac 5 2$$ | ||
| #### Ответ: $(H/h)^ \frac 5 2$ | #### Ответ: $(H/h)^ \frac 5 2$ | ||
| unchanged lines 31 | |||