Решение

Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс:
$$J\varepsilon=Fx$$
$$J_c\varepsilon=F(x-R)-F'R$$
Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера:
$$J=J_c+mR^2$$
Выразим момент инерции относительно центра масс:
$$J_c=J-mR^2$$
Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение:
$$\varepsilon=\frac{Fx}{J}$$
Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения:
$$(J-mR^2)\varepsilon=Fx-FR-F'R$$
Откроем скобки:
$$Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R$$
Преобразуем:
$$F'R=FR(\frac{mRx}{J}-1)$$
Получем ответ для произвольно значения $x$:
$$\boxed{F'=F(mRx/J-1)}$$
Минимальная сила на ось будет равна нулю.
$$F'=0$$
Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение:
$$\frac{mRx}{J}=1$$
Получаем ответ:
$$\boxed{x=J/(mR)}$$