Решение

Запишем начальные условия в виде второго закона Ньютона:

$$\frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}$$

Выведем радиус орбиты:

$$R=\frac{GM}{v^2}$$

Запишем закон сохранения энергии, с учетом новой (второй космической) скорости:

$$\frac{m(v+\Delta v)^2}{2}-\frac{GMm}{R}=0$$

Перенесем потенциальную энергию на правую сторону уравнения и подставим радиус:

$$\frac{(v+\Delta v)^2}{2}=v^2$$

Выразим $\Delta v$ и получим ответ:

$$\boxed{\Delta v=v(\sqrt2-1)}$$