Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.7.42.md
+6 −7
| @@ -1,10 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой | ||
| − | кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения | ||
| − | стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | ||
| + | $2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | ||
| #### Решение | |||
| + | |||
| В момент удара сохраняется момент импульса(запишем его относиетльно шарнира): | |||
| $$ | |||
| \frac{m_2vl}{2}=I\omega | |||
| $$ | |||
| Момент инерции стержня относительно его конца: | |||
| $$ | |||
| I_c=\frac{m_1l^2}{3} | |||
| $$ | |||
| Момент инерции куска пластилина: | |||
| $$ | |||
| I_w=\frac{m_2l^2}{4} | |||
| $$ | |||
| Общий момент инерции: | |||
| $$ | |||
| I=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12} | |||
| $$ | |||
| Подставим известные нам выражения: | |||
| $$ | |||
| \frac{m_2vl}{2}=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}\omega | |||
| $$ | |||
| Найдем связь угловой и линейной скоростей: | |||
| $$ | |||
| \omega l=\frac{6m_2v}{4m_1+3m_2} | |||
| $$ | |||
| После удара и до момента остановки в наивысшей точке энергия сохраняется: | |||
| $$ | |||
| \frac{I\omega^2}{2}=(m_1+m_2)gh | |||
| $$ | |||
| @@ -50,23 +49,23 @@Решение | |||
| Из геометрических соображений, ясно что максимальная высота, в единицах $l$ имеет вид: | |||
| $$ | |||
| − | h=\frac{l}{2}(1-cos\alpha) | ||
| + | h=\frac{l}{2}(1-\cos\alpha) | ||
| $$ | |||
| Подставим: | |||
| $$ | |||
| − | \frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-cos\alpha)}{2} | ||
| + | \frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-\cos\alpha)}{2} | ||
| $$ | |||
| Получим ответ: | |||
| $$ | |||
| − | \boxed{cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}} | ||
| + | \boxed{\cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}} | ||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| − | cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)} | ||
| + | \cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)} | ||
| $$ | |||
| @@ -1,10 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой | $2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | ||
| кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения | |||
| стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | |||
| #### Решение | #### Решение | ||
| В момент удара сохраняется момент импульса(запишем его относиетльно шарнира): | В момент удара сохраняется момент импульса(запишем его относиетльно шарнира): | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{m_2vl}{2}=I\omega | \frac{m_2vl}{2}=I\omega | ||
| $$ | $$ | ||
| Момент инерции стержня относительно его конца: | Момент инерции стержня относительно его конца: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_c=\frac{m_1l^2}{3} | I_c=\frac{m_1l^2}{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Момент инерции куска пластилина: | Момент инерции куска пластилина: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_w=\frac{m_2l^2}{4} | I_w=\frac{m_2l^2}{4} | ||
| $$ | $$ | ||
| Общий момент инерции: | Общий момент инерции: | ||
| $$ | $$ | ||
| I=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12} | I=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим известные нам выражения: | Подставим известные нам выражения: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{m_2vl}{2}=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}\omega | \frac{m_2vl}{2}=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}\omega | ||
| $$ | $$ | ||
| Найдем связь угловой и линейной скоростей: | Найдем связь угловой и линейной скоростей: | ||
| $$ | $$ | ||
| \omega l=\frac{6m_2v}{4m_1+3m_2} | \omega l=\frac{6m_2v}{4m_1+3m_2} | ||
| $$ | $$ | ||
| После удара и до момента остановки в наивысшей точке энергия сохраняется: | После удара и до момента остановки в наивысшей точке энергия сохраняется: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{I\omega^2}{2}=(m_1+m_2)gh | \frac{I\omega^2}{2}=(m_1+m_2)gh | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -50,23 +49,23 @@Решение | |||
| Из геометрических соображений, ясно что максимальная высота, в единицах $l$ имеет вид: | Из геометрических соображений, ясно что максимальная высота, в единицах $l$ имеет вид: | ||
| $$ | $$ | ||
| h=\frac{l}{2}(1-cos\alpha) | h=\frac{l}{2}(1-\cos\alpha) | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим: | Подставим: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-cos\alpha)}{2} | \frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-\cos\alpha)}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Получим ответ: | Получим ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}} | \boxed{\cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)} | \cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)} | ||
| $$ | $$ | ||