Решение

После удара система будет двигаться как и поступательно, так и вращательно.

Запишем закон сохранения энергии с учетом теплоты:

$$\frac{mv^2}{2}=Q+\frac{I\omega^2}{2}+mu^2$$

Закон сохранения импульса:

$$mv=2mu$$

Найдем скорость центра масс после удара:

$$u=\frac{v}{2}$$

Запишем закон сохранения момента импульса:

$$mvx=I\omega$$

Расстояние от конца стержня до центра масс:

$$x=\frac{l}{4}$$

Момент инерции стержня относительно нового центра масс, по теореме Штейнера:

$$I_c=\frac{ml^2}{12}+mx^2$$

Момент инерции шарика:

$$I_ш=mx^2$$

Момент инерции всей системы:

$$I=\frac{5ml^2}{24}$$

Подставим:

$$\frac{mvl}{4}=\frac{5ml^2}{24}\omega$$

Найдем связь угловой и линейной скоростей:

$$\omega l=\frac{6v}{5}$$

Из закона сохранения энергии выразим теплоту:

$$\frac{mv^2}{2}-(\frac{I\omega^2}{2}+mu^2)=Q$$

Подставим известные нам выражения:

$$\frac{mv^2}{2}-\frac{5m\omega^2l^2}{48}-\frac{mv^2}{4}=Q$$

С учетом связи скоростей:

$$\frac{mv^2}{4}-\frac{3mv^2}{20}=Q$$

Получаем ответ:

$$\boxed{Q=\frac{1}{10}mv^2}$$