Edit to “Условие”

astrosander edited Jan 12, 2025, 12:48 AM

View solution History

revision #12745 parent #12676 ← older

ru/2.7.41.md +1 −2

		@@ -1,7 +1,6 @@
			### Условие

		−	$2.7.41.$ Тонкий стержень массы $m$ и длины $l$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы $m$ со скоростью $v$, перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое
		−	количество теплоты выделится при таком ударе?
		+	$2.7.41.$ Тонкий стержень массы $m$ и длины $l$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы $m$ со скоростью $v$, перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое количество теплоты выделится при таком ударе?

			#### Решение
			После удара система будет двигаться как и поступательно, так и вращательно.

			Запишем закон сохранения энергии с учетом теплоты:

			$$
			\frac{mv^2}{2}=Q+\frac{I\omega^2}{2}+mu^2
			$$

			Закон сохранения импульса:

			$$
			mv=2mu
			$$

			Найдем скорость центра масс после удара:

			$$
			u=\frac{v}{2}
			$$

			Запишем закон сохранения момента импульса:

			$$
			mvx=I\omega
			$$

			Расстояние от конца стержня до центра масс:

			$$
			x=\frac{l}{4}
			$$

			Момент инерции стержня относительно нового центра масс, по теореме Штейнера:

			$$
			I_c=\frac{ml^2}{12}+mx^2
			$$

			Момент инерции шарика:

			$$
			I_ш=mx^2
			$$

			Момент инерции всей системы:

			$$
			I=\frac{5ml^2}{24}
			$$

			Подставим:

			$$
			\frac{mvl}{4}=\frac{5ml^2}{24}\omega
			$$

			Найдем связь угловой и линейной скоростей:

			$$
			\omega l=\frac{6v}{5}
			$$

			Из закона сохранения энергии выразим теплоту:

			$$
			\frac{mv^2}{2}-(\frac{I\omega^2}{2}+mu^2)=Q
			$$

			Подставим известные нам выражения:

			$$
			\frac{mv^2}{2}-\frac{5m\omega^2l^2}{48}-\frac{mv^2}{4}=Q
			$$

			С учетом связи скоростей:

			$$
			\frac{mv^2}{4}-\frac{3mv^2}{20}=Q
			$$

			Получаем ответ:

			$$
			\boxed{Q=\frac{1}{10}mv^2}
			$$

			#### Ответ

			$$
			Q=\frac{1}{10}mv^2
			$$
		unchanged lines 90

	@@ -1,7 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$2.7.41.$ Тонкий стержень массы $m$ и длины $l$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы $m$ со скоростью $v$, перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое		$2.7.41.$ Тонкий стержень массы $m$ и длины $l$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы $m$ со скоростью $v$, перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое количество теплоты выделится при таком ударе?
	количество теплоты выделится при таком ударе?

	#### Решение		#### Решение
	После удара система будет двигаться как и поступательно, так и вращательно.		После удара система будет двигаться как и поступательно, так и вращательно.

	Запишем закон сохранения энергии с учетом теплоты:		Запишем закон сохранения энергии с учетом теплоты:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}=Q+\frac{I\omega^2}{2}+mu^2		\frac{mv^2}{2}=Q+\frac{I\omega^2}{2}+mu^2
	$$		$$

	Закон сохранения импульса:		Закон сохранения импульса:

	$$		$$
	mv=2mu		mv=2mu
	$$		$$

	Найдем скорость центра масс после удара:		Найдем скорость центра масс после удара:

	$$		$$
	u=\frac{v}{2}		u=\frac{v}{2}
	$$		$$

	Запишем закон сохранения момента импульса:		Запишем закон сохранения момента импульса:

	$$		$$
	mvx=I\omega		mvx=I\omega
	$$		$$

	Расстояние от конца стержня до центра масс:		Расстояние от конца стержня до центра масс:

	$$		$$
	x=\frac{l}{4}		x=\frac{l}{4}
	$$		$$

	Момент инерции стержня относительно нового центра масс, по теореме Штейнера:		Момент инерции стержня относительно нового центра масс, по теореме Штейнера:

	$$		$$
	I_c=\frac{ml^2}{12}+mx^2		I_c=\frac{ml^2}{12}+mx^2
	$$		$$

	Момент инерции шарика:		Момент инерции шарика:

	$$		$$
	I_ш=mx^2		I_ш=mx^2
	$$		$$

	Момент инерции всей системы:		Момент инерции всей системы:

	$$		$$
	I=\frac{5ml^2}{24}		I=\frac{5ml^2}{24}
	$$		$$

	Подставим:		Подставим:

	$$		$$
	\frac{mvl}{4}=\frac{5ml^2}{24}\omega		\frac{mvl}{4}=\frac{5ml^2}{24}\omega
	$$		$$

	Найдем связь угловой и линейной скоростей:		Найдем связь угловой и линейной скоростей:

	$$		$$
	\omega l=\frac{6v}{5}		\omega l=\frac{6v}{5}
	$$		$$

	Из закона сохранения энергии выразим теплоту:		Из закона сохранения энергии выразим теплоту:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}-(\frac{I\omega^2}{2}+mu^2)=Q		\frac{mv^2}{2}-(\frac{I\omega^2}{2}+mu^2)=Q
	$$		$$

	Подставим известные нам выражения:		Подставим известные нам выражения:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{2}-\frac{5m\omega^2l^2}{48}-\frac{mv^2}{4}=Q		\frac{mv^2}{2}-\frac{5m\omega^2l^2}{48}-\frac{mv^2}{4}=Q
	$$		$$

	С учетом связи скоростей:		С учетом связи скоростей:

	$$		$$
	\frac{mv^2}{4}-\frac{3mv^2}{20}=Q		\frac{mv^2}{4}-\frac{3mv^2}{20}=Q
	$$		$$

	Получаем ответ:		Получаем ответ:

	$$		$$
	\boxed{Q=\frac{1}{10}mv^2}		\boxed{Q=\frac{1}{10}mv^2}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	Q=\frac{1}{10}mv^2		Q=\frac{1}{10}mv^2
	$$		$$
	unchanged lines 90