Решение

Распишем момент сил относительно точки сопрекосновения с полом:
$$TL=\frac{mg\sqrt{2}}{2}*\frac{L}{2}$$
Отсюда мы выражаем силу натяжения нити через вес:
$$T=\frac{mg\sqrt{2}}{4}$$
Распишем момент сил относительно конца стержня с нитью:
$$\frac{N\sqrt{2}}{2}L=\frac{\mu N\sqrt{2}}{2}L+\frac{mg\sqrt{2}}{2}\frac{L}{2}$$
Сократим что можем:
$$N=\mu N+\frac{mg}{2}$$
Выражаем силу реакции опоры через вес:
$$N=\frac{mg}{2(1-\mu)}$$
Запишем второй закон Ньютона по вертикали, с учетом того, что ускорение равно нулю:
$$mg=N+\frac{T\sqrt{2}}{2}$$
Подставим силу натяжения нити и реакции опоры:
$$mg=\frac{mg}{2(1-\mu)}+\frac{mg\sqrt{2}}{4}\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Сократим вес:
$$1=\frac{1}{2-2\mu}+\frac{1}{4}$$
Решаем алгебру:
$$1=\frac{2+1-\mu}{4-4\mu}$$
$$4-4\mu=3-\mu$$
$$4-3=4\mu-\mu$$
Получаем ответ:
$$\boxed{\mu\geq\frac{1}{3}}$$