Решение

Запишем второй закон Ньютона для оси $x$ и $y$, с учетом того, что ускорение равно нулю.

Для горизонтали:
$$\mu_1N_1=N_2$$
Для вертикали:
$$\mu_2N_2+N_1=mg$$
Подставим силу реакции стены во второе уравнение:
$$\mu_1\mu_2N_1+N_1=mg$$
Выразим силу реакции пола:
$$N_1=\frac{mg}{1+\mu_1\mu_2}$$
Отсюда сила реакции стены:
$$N_2=\frac{\mu_1mg}{1+\mu_1\mu_2}$$
Запишем уравнение статики относительно точки сопрекосновения с полом:
$$\mu_2N_2cos\alpha L+N_2sin\alpha L=mgcos\alpha \frac{L}{2}$$
Сократим длину лестницы, подставив силы реакции опоры и сократив вес:
$$\frac{\mu_1\mu_2cos\alpha}{1+\mu_1\mu_2}+\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=\frac{cos\alpha}{2}$$
Решаем уравнение:
$$\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=cos\alpha(\frac{1}{2}-\frac{\mu_1\mu_2}{1+\mu_1\mu_2})$$
$$\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=cos\alpha(1+\mu_1\mu_2-2\mu_1\mu_2)\frac{1}{2(1+\mu_1\mu_2)}$$
Поделим обе части уравнения на косинус, получив слева тангенс:
$$\mu_1tg\alpha=\frac{1-\mu_1\mu_2}{2}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{tg\alpha=\frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1}}$$