Решение

Запишем уравнение статики при движенииро круговой орбите:
$$\frac{mu^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$$
Найдем радиус орбиты:
$$r=\frac{GM}{u^2}$$
Запишем закон сохранения энергии для первого зонда. Его скорость будет равна нулю в конце, т.к. скорость в начале балы направлена радиально:
$$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{R_1}$$
С знанием радиуса орбиты в начале, уравнение приобретает такой вид:
$$u^2-\frac{v^2}{2}=\frac{GM}{R_1}$$
Выразим максимальное удаление от планеты:
$$R_1=\frac{2GM}{2u^2-v^2}$$
Далее, запишем закон сохранения момента импульса для второго зонда. Он не равен нулю благодаря перпендикулярному направленю скорости в начале:
$$vr=wR_2$$
Выразим скорость на удалении $R_2$:
$$w=\frac{vr}{R_2}$$
Запишем закон сохраения энергии для второго зонда:
$$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=\frac{mw^2}{2}-\frac{GMm}{R_2}$$
С знанием радиуса орбиты и скорости на удалении $R_2$, уравнение приобретает такой вид:
$$\frac{v^2}{2}-u^2=\frac{1}{2}\frac{v^2r^2}{R_2^2}-\frac{GMm}{R_2}$$
Появляется квадратное уравнение для $R_2$:
$$(2u^2-v^2)u^4R_2^2-2GMu^4R_2+G^2M^2v^2$$
При решение через дискриминант, получаем два корня:
$$R_2=GM\frac{u^2{\displaystyle \pm (v^2-u^2)}}{(2u^2-v^2)u^2}$$
Т.к. мы ищем наибольшее удаление, выбираем ответ с плюсом:
$$R_2=\frac{GMv^2}{(2u^2-v^2)u^2}$$
Нашей задачей было найти отношение этих расстояний:
$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{2GM}{2u^2-v^2}}{\frac{GMv^2}{(2u^2-v^2)u^2}}$$
Таким образом, получаем ответ:
$$\boxed{\frac{R_1}{R_2}=\frac{2u^2}{v^2}}$$