Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.6.51.md
+19 −37
| @@ -1,44 +1,26 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.6.51.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.6.51.$ Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы $m$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от ее центра | ||
| + | так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Заипешм уравнение статики для первого тела, предпологая, что он находится к планете ближе(пренебрешаем силой притяжения между телами): | ||
| + | $$m\omega^2R_1+F=\frac{\gamma Mm}{R_1^2}$$ | ||
| + | Угловая скорость тел будет одинаковой, т.к. они жестко связаны тросом. Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | ||
| + | $$m\omega^2=\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}$$ | ||
| + | Запишем уравнение статики для второго тела: | ||
| + | $$m\omega^2R_2=F+\frac{\gamma Mm}{R_2^2}$$ | ||
| + | Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | ||
| + | $$m\omega^2=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | ||
| + | Получаем такое уравнение: | ||
| + | $$\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | ||
| + | Решаем: | ||
| + | $$\frac{\gamma MmR_2}{R_1^2}-FR_2=FR_1+\frac{\gamma MmR_1}{R_2^2}\Rightarrow$$ | ||
| + | $$\Rightarrow F(R_1+R_2)=\gamma Mm\frac{R_2^3-R_1^3}{R_1^2R_2^2}$$ | ||
| + | Получаем ответ: | ||
| + | $$\boxed{F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}}$$ | ||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}$$ | ||
| @@ -1,44 +1,26 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.51.$ [Вставьте описание задачи] | $2.6.51.$ Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы $m$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от ее центра | ||
| так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$. | |||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| #### Решение | |||
| Заипешм уравнение статики для первого тела, предпологая, что он находится к планете ближе(пренебрешаем силой притяжения между телами): | |||
| $$m\omega^2R_1+F=\frac{\gamma Mm}{R_1^2}$$ | |||
| Угловая скорость тел будет одинаковой, т.к. они жестко связаны тросом. Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | |||
| $$m\omega^2=\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}$$ | |||
| Запишем уравнение статики для второго тела: | |||
| $$m\omega^2R_2=F+\frac{\gamma Mm}{R_2^2}$$ | |||
| Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | |||
| $$m\omega^2=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | |||
| Получаем такое уравнение: | |||
| $$\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | |||
| Решаем: | |||
| $$\frac{\gamma MmR_2}{R_1^2}-FR_2=FR_1+\frac{\gamma MmR_1}{R_2^2}\Rightarrow$$ | |||
| $$\Rightarrow F(R_1+R_2)=\gamma Mm\frac{R_2^3-R_1^3}{R_1^2R_2^2}$$ | |||
| Получаем ответ: | |||
| $$\boxed{F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}}$$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}$$ | ||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||