Решение

Cила натяжения сообщает спутникам центростремительно ускорение

$$\omega^2 rm_1 = T_1$$

$$\omega^2 (L-r)m_2 = T_2$$

Где $r$ — расстояние от m_1 до центра масс системы

$$r = \frac{T_1}{\omega^2 m_1}$$

$$\omega^2 Lm_2-T_1\frac{m_2}{m_1} = T_2$$

Откуда находим $\omega$

$$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{m_2T_1+m_1T_2}{Lm_1m_2}}}$$

При этом расстояние, на котором центр масс будет находится от первого отсека

$$r = L \frac{T_1m_2}{m_2T_1+m_1T_2}$$

Далее, воспользуемся формулой для центра масс, чтобы найти массу тросса $m$

$$r = \frac{m_1 \cdot 0 + m \cdot \frac{L}{2} + m_2 \cdot L}{m_1+m_2+m}$$

$$L \frac{T_1m_2}{m_2T_1+m_1T_2} = L \frac{m + 2m_2}{2(m_1+m_2+m)}$$

Откуда выражаем массу тросса $m$

$$\boxed{m=\frac{2m_1m_2(T_1-T_2)}{m_1T_2-m_2T_1}}$$