Решение

Запишем условие равновесия при плавном спуске:
$$mg=\frac{kh}{3}$$
Дальше, запишем закон сохранения энергии без учета сжатия, т.к. резиновый шнур не сжимается как пружина:
$$mgH_1=\frac{kh^2}{2}$$
Подставим то, что нам известно из условий равновесия:
$$\frac{khH_1}{3}=\frac{kh^2}{2}$$
Выразим минимальную высоту:
$$\boxed{H_1=\frac{3h}{2}}$$
Главная разница между шнуром и пружиной в том, что пружина может и растягиваться, и сжиматься. Резиновый шнур так не может.

Запишем закон сохранения энергии с учетом этой разницы:
$$mgH_2+\frac{k(H_2-h)^2}{2}=\frac{kh^2}{2}$$
Условия равновесия для пружины те же, подставим:
$$\frac{khH_2}{3}+\frac{kH_2^2}{2}-khH_2+\frac{kh^2}{2}=\frac{kh^2}{2}$$
Сократим ненужное:
$$\frac{h}{3}+\frac{H_2}{2}-h=0$$
Выразим минимальную высоту:
$$\boxed{H_2=\frac{4h}{3}}$$