Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Ismail edited
View solution History
revision #12903 parent #12902 ← older
ru/2.4.5.md +66 −32
@@ -1,44 +1,78 @@
### Условие
−$2.4.5.$ [Вставьте описание задачи]
+$2.4.5.$ Частицы, между которыми действует постоянная сила взаимного притяжения $F$, удерживают на расстоянии $2r$ друг от друга. Затем их начинают
+медленно перемещать в противоположных направлениях под углом $α$ к линии,
+первоначально соединявшей частицы. Какую работу надо совершать, чтобы переместить частицы на расстояние $r$? При каком $α$ эта работа равна нулю?
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
+![К задаче $2.4.5$|331x91, 50%](../../img/2.4.5/2.4.5.PNG)
−### Решение
+#### Решение
+Запишем потенциальную энергию для начального и конечного моментов:
+$$
+U_0=-2Fr
+$$
−[Здесь должно быть ваше решение]
+$$
+U=-FR
+$$
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
+Из-за симметрии появляется два равнобедренных треугольника, один из углов которого $\alpha$, другие два $\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}$
−$$a(t) = bt$$
+По теореме синусов найдем половину расстояния между телами в конечном моменте:
+$$
+\frac{R}{2sin\alpha}=\frac{r}{cos\frac{\alpha}{2}}
+$$
+Запишем синус угла как синус двойного угла $\frac{\alpha}{2}$
+$$
+sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}
+$$
+Подставим:
+$$
+\frac{R}{4sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{cos\frac{\alpha}{2}}
+$$
+Выразим полное расстояние между телами:
+$$
+R=4rsin\frac{\alpha}{2}
+$$
+Разница между потенциальными энергиями есть работа:
+$$
+A=U_0-U=-2Fr-(-FR)
+$$
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
+$$
+A=F(R-2r)
+$$
+Подставим:
+$$
+A=F(4rsin\frac{\alpha}{2}-2r)
+$$
+Получим ответ:
+$$
+\boxed{A=2Fr(2sin\frac{\alpha}{2}-1)}
+$$
+Работа равняется нулю только если:
+$$
+2sin\frac{\alpha}{2}-1=0
+$$
+Выразим синус половины угла:
+$$
+sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
+$$
+Значит:
+$$
+\frac{\alpha}{2}=30°
+$$
+Получем сам угол:
+$$
+\boxed{\alpha=60°}
+$$
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
−
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
−
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
−
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
−
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
−
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
−
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
#### Ответ
+$$
+A=2Fr(2sin\frac{\alpha}{2}-1)
+$$
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$
+$$
+\alpha=60°
+$$