Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.14.md
+13 −32
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.14.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.14.$ Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении $\gamma$ и $\omega_{0}$ это произойдет (см. задачу 3.5.12) | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| + | ### Решение | ||
| − | ### Solution | ||
| + | В задаче 3.5.10 мы доказали, что порядок мощности потерь энергии осциллятора равен $bv^2$. Будем считать, что осциллятор полностью потеряет свою энергию за четверть периода: | ||
| + | $$bv^2T/4\approx m\omega_{0}^2A^2/2$$ | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | Вспомним, что $b/m =2 \gamma$ , $\omega_{0}^2A^2 = v^2$, $T= 2\pi/\omega_{0}$ | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | И получим: | ||
| + | $$\gamma/\omega_{0}\approx10^{-1}$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Точный анализ решения уравнения движения осциллятора даёт соотношение: | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| + | Именно при таком соотношении скоростей затухания и колебания комплексные экспоненты становятся действительными, соответственно, из решения пропадают тригонометрические функции как таковые. При $\gamma>\omega_{0}$ решение имеет вид: | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| − | #### Answer | ||
| − | |||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,25 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.14.$ [Insert problem description here] | $3.5.14.$ Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении $\gamma$ и $\omega_{0}$ это произойдет (см. задачу 3.5.12) | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Решение | |||
| ### Solution | В задаче 3.5.10 мы доказали, что порядок мощности потерь энергии осциллятора равен $bv^2$. Будем считать, что осциллятор полностью потеряет свою энергию за четверть периода: | ||
| $$bv^2T/4\approx m\omega_{0}^2A^2/2$$ | |||
| [Your solution should be placed here] | Вспомним, что $b/m =2 \gamma$ , $\omega_{0}^2A^2 = v^2$, $T= 2\pi/\omega_{0}$ | ||
| __Example Solution__: | И получим: | ||
| The acceleration of the body defined by | $$\gamma/\omega_{0}\approx10^{-1}$$ | ||
| $$a(t) = bt$$ | Точный анализ решения уравнения движения осциллятора даёт соотношение: | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| Именно при таком соотношении скоростей затухания и колебания комплексные экспоненты становятся действительными, соответственно, из решения пропадают тригонометрические функции как таковые. При $\gamma>\omega_{0}$ решение имеет вид: | |||
| #### Ответ | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Answer | |||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | |||
| __Example Answer__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||