Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.19.md
+23 −23
| @@ -1,44 +1,44 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.19.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.19.$ По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma \ll \omega_{0}$ можно считать, что $\omega \approx \omega_{0}$? | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$. | ||
| + | Тогда $\omega \approx \omega_{0}$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле. | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | С одной стороны, $tg\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$ | ||
| − | |||
| + | С другой стороны, $tg\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$ | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| + | Приравнивая выражения, получим: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\gamma = \frac{1}{\tau}$$ | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| + | Где $\tau = 10^{-2} с$ (время, когда касательная пересекает ось $t$) | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| + | За время $\tau = 10^{-2} c$ происходит $n = 5$ колебаний: | ||
| − | #### Answer | ||
| + | $$T = \frac{\tau}{n} = \frac{2\pi}{\omega}$$ | ||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| + | $$\omega = \frac{2\pi n}{\tau}$$ | ||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$\gamma = 10^{2} c$$ | ||
| + | $$\omega = \pi *10^{3}c$$ | ||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,44 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.19.$ [Insert problem description here] | $3.5.19.$ По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma \ll \omega_{0}$ можно считать, что $\omega \approx \omega_{0}$? | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| __Example Solution__: | Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид: | ||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$ |
$$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$ | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$ | ||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$. | ||
| Тогда $\omega \approx \omega_{0}$ | |||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле. | ||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | С одной стороны, $tg\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$ | ||
| С другой стороны, $tg\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$ | |||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | Приравнивая выражения, получим: | ||
| $$ |
$$\gamma = \frac{1}{\tau}$$ | ||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | Где $\tau = 10^{-2} с$ (время, когда касательная пересекает ось $t$) | ||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | За время $\tau = 10^{-2} c$ происходит $n = 5$ колебаний: | ||
| #### Answer | $$T = \frac{\tau}{n} = \frac{2\pi}{\omega}$$ | ||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | $$\omega = \frac{2\pi n}{\tau}$$ | ||
| __Example Answer__: | |||
| $$ |
#### Ответ | ||
| $$\gamma = 10^{2} c$$ | |||
| $$\omega = \pi *10^{3}c$$ | |||