Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.20.md
+24 −23
| @@ -1,44 +1,45 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.20.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на 1%. Каков коэффициент затухания этого маятника? | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| + | б. Шарик этого мятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании маятника? | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| + | а. | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | Найдем амплитуду через один период: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$A(t+T) = A_{0} e^{-\gamma (t+T)} = A_{0} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T}$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| + | Рассчитаем отношение двух "соседних" амплитуд: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\frac{A(t)}{A(t+T)} = e^{\gamma T} = 1.01$$ | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | Прологарифмировав обе части предыдущего соотношения, получим: | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| + | $$\gamma T = ln(1.01)$$ | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| + | Воспользуемся приближенной формулой $ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\gamma = \frac{1}{T}*0.01$$ | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | #### Answer | ||
| + | б. | ||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| + | По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в 4 раза, то скорость затухания уменьшится в 4 раза. | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$\gamma = 10^{-2} c^{-1}$$ | ||
| + | |||
| + | Скорость затухания уменьшится в 4 раза. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,45 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.20.$ [Insert problem description here] | $3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на 1%. Каков коэффициент затухания этого маятника? | ||
| __Example Statement__: | б. Шарик этого мятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании маятника? | ||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| а. | |||
| __Example Solution__: | Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | ||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$ |
$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | Найдем амплитуду через один период: | ||
| $$ |
$$A(t+T) = A_{0} e^{-\gamma (t+T)} = A_{0} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T}$$ | ||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | Рассчитаем отношение двух "соседних" амплитуд: | ||
| $$ |
$$\frac{A(t)}{A(t+T)} = e^{\gamma T} = 1.01$$ | ||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | Прологарифмировав обе части предыдущего соотношения, получим: | ||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | $$\gamma T = ln(1.01)$$ | ||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | Воспользуемся приближенной формулой $ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | ||
| $$ |
$$\gamma = \frac{1}{T}*0.01$$ | ||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Answer | б. | ||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в 4 раза, то скорость затухания уменьшится в 4 раза. | ||
| #### Ответ | |||
| __Example Answer__: | $$\gamma = 10^{-2} c^{-1}$$ | ||
| $$ |
|||
| Скорость затухания уменьшится в 4 раза. | |||