Решение

Силы трения между первым и вторым, вторым и третьим имеют одинаковый модуль:
$$F_1 = F_2 = F$$
Равновесие наступит тогда, когда все угловые скорости станут равны по модулю, а направление угловой скорости второго будет противоположно двум другим:
$$\omega_1 = \omega_3 = -\omega_2$$

Запишемвторой закон Ньютона для вращательного движения, описывая первый и второй цилиндры:

$$I\frac{\omega_1 - \omega}{t} = -F\cdot R$$

$$I\frac{\omega_2 - \omega}{t} = -2F\cdot R$$

Решим эту систему, получим:
$$\omega_2 = 2\omega_1 - \omega$$
Используя условие равновесия полученное в начале:
$$\omega_1=\omega_3=\frac{\omega}{3}; \quad \omega_2=-\frac{\omega}{3}$$