| @@ -1,44 +1,67 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $3.5.21.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $3.5.21.$ а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите добротность через коэффициент затухания $\gamma$ и частоту свободных колебаний $\omega_{0}$ $(\gamma \ll \omega_{0})$. Как связана добротностью $Q$ с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в $e$ раз? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность $Q = 10^8 - 10^9$. Частота колебаний монокристалла $\omega_{0} = 10^4 c^{-1}$. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки. |
| | | |
| | | |
| | + | |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | a. |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | Зависимость амплитуды от времени (получена в 3.5.19) выглядит следующим образом: |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому: |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$E(t) = \frac{m \omega_{0}^2 A_{0}^2}{2} e^{-2 \gamma t}$$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | $$E(t+\tau) = \frac{m \omega_{0}^2 A_{0}^2}{2} e^{-2 \gamma (t+\tau)}$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | Найдем отношение энергий: |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | $$\frac{E(t)}{E(t+\tau)} = e^{2 \gamma \tau}$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | Время $\tau$ выбрано так, чтобы осциллятор прошел один радиан, т.е.: |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | $$\tau = \frac{1}{\omega_{0}}$$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | + | Поскольку $\gamma \ll \omega_{0}$, аргумент экспоненты весьма мал, потому мы вправе воспользоваться приближенной формулой $e^x \approx 1 + x, |x|\ll1$: |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | + | $$\frac{E(t)}{E(t+\tau)} = 1 + \frac{2 \gamma}{\omega_{0}}$$ |
| | | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | + | Вспомним также, что определение добротности требует от нас отношение потерь энергии к начальной энергии, потому запишем $E(t+\tau) = E(t) - \Delta E$, причем величина $\Delta E$ достаточно мала по сравнению с $E(t)$: |
| | | |
| | + | $$\frac{E(t)}{E(t) - \Delta E} = 1 + 2\gamma \tau$$ |
| | + | |
| | + | Для левой части используем приближение, справедливое при малых $x$, а именно $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ для любых $\alpha$: |
| | + | |
| | + | $$1+ \frac{\Delta E}{E(t)} = 1 + \frac{2 \gamma}{\omega_{0}}$$ |
| | + | |
| | + | По определению добротности: |
| | + | |
| | + | $$Q = \frac{E}{\Delta E} = \frac{\omega_{0}}{2 \gamma}$$ |
| | + | |
| | + | Величина $\gamma$ есть ни что иное, как обратное время, необходимое, чтобы амплитуда осциллятора уменьшилась в $e$ раз. |
| | + | |
| | + | б. |
| | + | |
| | + | Из определения добротности: |
| | + | |
| | + | $$\gamma = \frac{\omega_{0}}{2Q}$$ |
| | + | |
| | + | $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t} = A_{0} e^{ - \frac{\omega_{0}}{2Q} t}$$ |
| | + | |
| | + | Тогда за время $T$ амплитуда упадет в $n = e^{\frac{\omega_{0}}{2Q} T}$ раз. Для ответа на поставленный вопрос возьмем $T = 86400c$ |
| | + | |
| | + | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | | |
| | + | a. $Q = \frac{\omega_{0}}{2 \gamma}$ |
| | | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | б. В $50$ раз при $Q = 10^8$ и в $1,5$ раза при $Q = 10^9$ |
| | + | |
