Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.26.md
+34 −20
| @@ -1,44 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.26.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $3.5.26.$ а. Тело массы $m$, связанное с двух сторон пружинами со стенками, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). Определите амплитуду колебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины $k$, а со стороны правой пружины на тело действует сила $F_{0}sin\omega t$. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | б. Тело массы $m$, связанное со стенкой пружиной жесткости $k$, а справа жестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, что со стороны второго тела на тело массы $m$ действует сила $F_{0}cos\omega t$. | ||
| ### Решение | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| + | а. | ||
| − | |||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | Запишем уравнение движения тела: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$mx'' = -kx + F_{0}sin\omega t$$ | ||
| − | |||
| + | Поделим выражение на массу и переобозначим $\frac{k}{m} = \omega_{0}^2$: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$x'' + \omega_{0}^2x = \frac{F_{0}}{m} sin\omega t$$ | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | Решением однородной (левой) части уравнения будет общеизвестное $x_{0}(t) = Bcos(\omega_{0}t + \phi)$. Однако это не единственное решение. Попробуем угадать его вторую часть. | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | Для этого подумаем, в каком виде решение может быть. Понятно, что $sin\omega_{0} t$ нам не подходит, ведь он не всюду совпадает с функцией вынуждающей силы. Видно, что для того, чтобы всё сократилось, необходимо, чтобы в решении присутствовал $sin\omega t$ (ведь его можно будет вынести за скобки!). Таким образом, попробуем угадать зависимость координаты от времени в виде: | ||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| + | $$x_{1}(t) = Asin\omega t$$ | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| + | Для этого найдем вторую производную по времени: | ||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| + | $$x_{1}''(t) = -A \omega^2 sin\omega t$$ | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | И подставим в уравнение движения: | ||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| + | $$-A\omega^2 sin\omega t + A \omega_{0}^2sin\omega t = \frac{F_{0}}{m} sin\omega t$$ | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| + | Видим, что наша идея сработала! Синус сокращается (выносится за скобки, если строго), и мы получаем следующующее выражение: | ||
| + | $$A(\omega_{0}^2-\omega^2) = \frac{F_{0}}{m}$$ | ||
| + | |||
| + | Таким образом, получим: | ||
| + | |||
| + | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| + | |||
| + | б. Решение этой части будет абсолютно аналогично предыдущему, с точностью до замены синуса на косинус в том моменте, где мы угадывали зависимость $x_{1}(t)$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| + | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | #### Дополнение | ||
| + | |||
| + | Идея решения этой задачи очень важна для дальнейшего изучения сложных колебаний. Закон движения тела в этом случае представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение. Специфической особенностью неоднородных диффуров является то, что общее решение однородной части не есть полное решение. Полное решение будет суммой общего решения $x_{0}(t)$ и угаданного нами $x_{1}(t)$: | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = Bcos(\omega_{0}t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} sin\omega t$$ | ||
| + | |||
| + | Попробуйте найти вторую производную $x(t)$ и подставить ее в закон движения. Вы убедитесь, что найденное $x(t)$ полностью удовлетворяет второму закону Ньютона для частицы. | ||
| + | |||
| + | Угадывание решений неоднородных диффуров - узаконеная практика (даже в математике!). Более того, угадав одно частное решение $x_{1}(t)$, мы можем быть уверены в том, что не существует других частных решений $x_{2}(t)$, $x_{3}(t)$..., которые не были бы вариацией уже существующих решений. | ||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.26.$ [Вставьте описание задачи] | $3.5.26.$ а. Тело массы $m$, связанное с двух сторон пружинами со стенками, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). Определите амплитуду колебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины $k$, а со стороны правой пружины на тело действует сила $F_{0}sin\omega t$. | ||
| __Пример условия__: | б. Тело массы $m$, связанное со стенкой пружиной жесткости $k$, а справа жестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, что со стороны второго тела на тело массы $m$ действует сила $F_{0}cos\omega t$. | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| [Здесь должно быть ваше решение] | а. | ||
| Запишем уравнение движения тела: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$ |
$$mx'' = -kx + F_{0}sin\omega t$$ | ||
| Поделим выражение на массу и переобозначим $\frac{k}{m} = \omega_{0}^2$: | |||
| $$ |
$$x'' + \omega_{0}^2x = \frac{F_{0}}{m} sin\omega t$$ | ||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | Решением однородной (левой) части уравнения будет общеизвестное $x_{0}(t) = Bcos(\omega_{0}t + \phi)$. Однако это не единственное решение. Попробуем угадать его вторую часть. | ||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | Для этого подумаем, в каком виде решение может быть. Понятно, что $sin\omega_{0} t$ нам не подходит, ведь он не всюду совпадает с функцией вынуждающей силы. Видно, что для того, чтобы всё сократилось, необходимо, чтобы в решении присутствовал $sin\omega t$ (ведь его можно будет вынести за скобки!). Таким образом, попробуем угадать зависимость координаты от времени в виде: | ||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | $$x_{1}(t) = Asin\omega t$$ | ||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | Для этого найдем вторую производную по времени: | ||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | $$x_{1}''(t) = -A \omega^2 sin\omega t$$ | ||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | И подставим в уравнение движения: | ||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | $$-A\omega^2 sin\omega t + A \omega_{0}^2sin\omega t = \frac{F_{0}}{m} sin\omega t$$ | ||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | Видим, что наша идея сработала! Синус сокращается (выносится за скобки, если строго), и мы получаем следующующее выражение: | ||
| $$A(\omega_{0}^2-\omega^2) = \frac{F_{0}}{m}$$ | |||
| Таким образом, получим: | |||
| $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | |||
| б. Решение этой части будет абсолютно аналогично предыдущему, с точностью до замены синуса на косинус в том моменте, где мы угадывали зависимость $x_{1}(t)$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| __Пример ответа__: | #### Дополнение | ||
| $$ |
|||
| Идея решения этой задачи очень важна для дальнейшего изучения сложных колебаний. Закон движения тела в этом случае представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение. Специфической особенностью неоднородных диффуров является то, что общее решение однородной части не есть полное решение. Полное решение будет суммой общего решения $x_{0}(t)$ и угаданного нами $x_{1}(t)$: | |||
| $$x(t) = Bcos(\omega_{0}t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} sin\omega t$$ | |||
| Попробуйте найти вторую производную $x(t)$ и подставить ее в закон движения. Вы убедитесь, что найденное $x(t)$ полностью удовлетворяет второму закону Ньютона для частицы. | |||
| Угадывание решений неоднородных диффуров - узаконеная практика (даже в математике!). Более того, угадав одно частное решение $x_{1}(t)$, мы можем быть уверены в том, что не существует других частных решений $x_{2}(t)$, $x_{3}(t)$..., которые не были бы вариацией уже существующих решений. | |||