Edits to “Условие”, “Доказательство”, “Ответ”
ru/4.2.16.md
+36 −28
| @@ -1,44 +1,52 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.16.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $4.2.16^*.$ Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения | ||
| + | полусфер батискафа, если он полностью погружен в воду. | ||
| + |  | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | ### Доказательство | ||
| − | ### Решение | ||
| + | Для начала рассмотрим случай, когда плоскость соприкосновения полусфер параллельна поверхности воды. | ||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + |  | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Нам будет нужна вертикальная проекция силы, которая действует на поверхность сферы: | ||
| + | $$ | ||
| + | dF = dF'sin\alpha \space\space\space(1) | ||
| + | $$ | ||
| − | |||
| + | Рассмотрим силу давления на участке $dS$: | ||
| + | $$ | ||
| + | dF' = p(h)dS \space\space\space(2) | ||
| + | $$ | ||
| + | На небольшом участке сверы мы можем увидеть цилиндр, нам нужно найти площадь его поверхности: | ||
| + | $$ | ||
| + | dS = 2\pi{}Rcos\alpha{}d\alpha \space\space\space(3) | ||
| + | $$ | ||
| + | Найдём $p(h)$: | ||
| + | $$ | ||
| + | p(h) = \rho{}g(H+R(1-sin\alpha)) \space\space\space(4) | ||
| + | $$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | Подставим выражения $2$, $3$ и $4$ в $1$ и проинтегрируем правую часть от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$: | ||
| + | $$ | ||
| + | F_1 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin\alpha))sin\alpha{}\space{}cos\alpha{}d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(5) | ||
| + | $$ | ||
| + | Теперь повернём сверу на угол $\varphi$ | ||
| + |  | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | Проведя аналогичные рассуждения, мы прийдём к интегралу с пределами интнгрирования от $-\frac{\pi}{2}-\varphi$ до $\frac{\pi}{2}-\varphi$: | ||
| + | $$ | ||
| + | F_2 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin(\alpha{}+\varphi{}))sin(\alpha{}+\varphi{})\space{}cos(\alpha{}+\varphi{})d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(6) | ||
| + | $$ | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | Видим, что выражения $(5)$ и $(6)$ равны. | ||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| + | Что и требовалось доказать. | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | Сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения | ||
| + | полусфер батискафа, если он полностью погружен в воду. | ||
| @@ -1,44 +1,52 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.16.$ [Вставьте описание задачи] | $4.2.16^*.$ Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения | ||
| полусфер батискафа, если он полностью погружен в воду. | |||
|  | |||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Доказательство | |||
| ### Решение | Для начала рассмотрим случай, когда плоскость соприкосновения полусфер параллельна поверхности воды. | ||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: |  | ||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | Нам будет нужна вертикальная проекция силы, которая действует на поверхность сферы: | ||
| $$ | |||
| dF = dF'sin\alpha \space\space\space(1) | |||
| $$ | |||
| Рассмотрим силу давления на участке $dS$: | |||
| $$ | |||
| dF' = p(h)dS \space\space\space(2) | |||
| $$ | |||
| На небольшом участке сверы мы можем увидеть цилиндр, нам нужно найти площадь его поверхности: | |||
| $$ | |||
| dS = 2\pi{}Rcos\alpha{}d\alpha \space\space\space(3) | |||
| $$ | |||
| Найдём $p(h)$: | |||
| $$ | |||
| p(h) = \rho{}g(H+R(1-sin\alpha)) \space\space\space(4) | |||
| $$ | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | Подставим выражения $2$, $3$ и $4$ в $1$ и проинтегрируем правую часть от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$: | ||
| $$ | |||
| F_1 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin\alpha))sin\alpha{}\space{}cos\alpha{}d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(5) | |||
| $$ | |||
| Теперь повернём сверу на угол $\varphi$ | |||
|  | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | Проведя аналогичные рассуждения, мы прийдём к интегралу с пределами интнгрирования от $-\frac{\pi}{2}-\varphi$ до $\frac{\pi}{2}-\varphi$: | ||
| $$ | |||
| F_2 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin(\alpha{}+\varphi{}))sin(\alpha{}+\varphi{})\space{}cos(\alpha{}+\varphi{})d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(6) | |||
| $$ | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | Видим, что выражения $(5)$ и $(6)$ равны. | ||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | Что и требовалось доказать. | ||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения | |||
| полусфер батискафа, если он полностью погружен в воду. | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||