С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса $R$ и скорость $u$, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость $V$ . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен-тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину $V$ . На каком расстоянии от центра планеты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен $α$?
Решение
Записываем законы Ньютона для вращающегося корабля $$\frac{mu^2}{R}=\frac {GMm}{R^2 }$$ Выражаем квадрат скорости $$u^2=\frac{GM}{R}$$ Записываем закон сохранения момента импульса $$L=muR$$ Существует такое понятие как Semi lactus rectum. Оно есть определение радиус-вектора тела отсчитывемый от центра планеты
$$\vec{r}={\frac{\vec{r_o}}{1-\epsilon cos(\phi)}}$$ Запишем закон сохранения энергии $$E=\frac{m(v^2+u^2)}{2}-\frac{GMm}{R}$$ И из верхнего уравнения следует что: $$Е=\frac{m(V^2-u^2)}{2}$$ Запишем эсцентриситет (параметр радиус-вектора от центра планеты до тело)
$$\epsilon=\sqrt{1+{\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}}$$
Подставим что нам известно и выразим эсцентриситет $$\epsilon=\frac{V}{u}$$
Отсчёт для Semi lactus rectum ведётся с другой стороны, то есть $\phi=\frac{π}{2}-α$
Остюда: $$cos(\phi)=sin(\alpha)$$ Так же мы знаем: $$r_0=\frac{L^2}{GMm^2}$$ Отсюда следует что: $$r_0=R$$ От этого всего получаем что: $$\boxed{r=\frac{uR}{u-Vsin(\alpha)}}$$
