2.4.30. При медленном подъеме груза по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ и коэффициентом трения $\mu$ затрачена работа $A$. Груз тянут вдоль плоскости. Определите, какая часть работы пошла на увеличение внутренней энергии груза и наклонной плоскости.
Решение
Запишем уравнение сил вдоль плоскости: $$F=\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha,\tag{1}$$ где $F$~--- сила, с которой тянут груз; $mg$~--- сила тяжести, действующая на груз.
Затраченную работу выражаем так: $$A=FS,\tag{2}$$ где $S$~--- расстояние, на которое протащили груз вдоль плоскости.
А увеличение внутренней энергии равно работе трения: $$\Delta U=F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha\cdot S.\tag{3}$$
Искомая величина есть $$\beta=\frac{\Delta U}{A}.\tag{4}$$
Подставив $(2)$ и $(3)$ в $(4)$ и упростив, получаем: $$\beta=\frac{\mu mg\cos\alpha}{F}.\tag{5}$$
Теперь подставляем $(1)$ в $(5)$ и после упрощений получаем ответ: $$\beta=\frac{\mu}{\mu+\operatorname{tg}\alpha}.$$