| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.4.30.$ При медленном подъеме груза по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ и коэффициентом трения $\mu$ затрачена работа $A$. Груз тянут вдоль плоскости. Определите, какая часть работы пошла на увеличение внутренней энергии груза и наклонной плоскости. | | $2.4.30.$ При медленном подъеме груза по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ и коэффициентом трения $\mu$ затрачена работа $A$. Груз тянут вдоль плоскости. Определите, какая часть работы пошла на увеличение внутренней энергии груза и наклонной плоскости. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Запишем уравнение сил вдоль плоскости: | | Запишем уравнение сил вдоль плоскости: |
| $$ | | $$ |
| F=\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha,\tag{1} | | F=\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha,\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| где $F$~--- сила, с которой тянут груз; $mg$~--- сила тяжести, действующая на груз. | | где $F$~--- сила, с которой тянут груз; $mg$~--- сила тяжести, действующая на груз. |
| | | |
| Затраченную работу выражаем так: | | Затраченную работу выражаем так: |
| $$ | | $$ |
| A=FS,\tag{2} | | A=FS,\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| где $S$~--- расстояние, на которое протащили груз вдоль плоскости. | | где $S$~--- расстояние, на которое протащили груз вдоль плоскости. |
| | | |
| А увеличение внутренней энергии равно работе трения: | | А увеличение внутренней энергии равно работе трения: |
| $$ | | $$ |
| \Delta U=F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha\cdot S.\tag{3} | | \Delta U=F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha\cdot S.\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Искомая величина есть | | Искомая величина есть |
| $$ | | $$ |
| \beta=\frac{\Delta U}{A}.\tag{4} | | \beta=\frac{\Delta U}{A}.\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставив $(2)$ и $(3)$ в $(4)$ и упростив, получаем: | | Подставив $(2)$ и $(3)$ в $(4)$ и упростив, получаем: |
| $$ | | $$ |
| \beta=\frac{\mu mg\cos\alpha}{F}.\tag{5} | | \beta=\frac{\mu mg\cos\alpha}{F}.\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Теперь подставляем $(1)$ в $(5)$ и после упрощений получаем ответ: | | Теперь подставляем $(1)$ в $(5)$ и после упрощений получаем ответ: |
| $$ | | $$ |
| \beta=\frac{\mu}{\mu+\operatorname{tg}\alpha}. | | \beta=\frac{\mu}{\mu+\operatorname{tg}\alpha}. |
