Решение

Пусть вначале корабль движется со скоростью $v$, тогда имеем уравнение сил:

\begin{equation}F_1=kv^2,\tag{1} \end{equation}

где $F_1$ есть сила тяги двигателя при скорости $v$, $k$ есть коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью.

Теперь запишем уравнение сил для движения со скоростью $2v$:

\begin{equation}F_2=k4v^2,\tag{2} \end{equation}

где $F_2$ есть сила тяги двигателя при скорости $2v$.

Можно показать, что мощности двигателя при скоростях $v$ и $2v$ равны соответственно:

\begin{gather}P_1=F_1v,\\ P_2=F_2\cdot2v. \end{gather}

Подставив $(1)$ в $(3)$ и $(2)$ в $(4)$, после упрощений получаем систему:
$$\left\{\begin{aligned}&P_1=kv^3,\\ &P_2=8kv^3. \end{aligned} \right.$$

Теперь делим второе уравнение системы на первое, сокращаем и получаем искомый результат:

$$\frac{P_2}{P_1}=8.$$