Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ: Частицы собираются на расстояниях”
ru/3.3.9.md
+51 −9
| @@ -1,17 +1,59 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.3.9.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$? | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$: | ||
| − | Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в | ||
| − | некоторых определенных точках оси OO0 | ||
| − | , если скорость каждой частицы пучка | ||
| − | в сечении OO00 равна v0, а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r — | ||
| − | расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO00 фокусируются частицы, если масса каждой из них равна m? | ||
| + | $$ | ||
| + | -ky=m\ddot{y}. | ||
| + | $$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону: | ||
| − | |||
| + | $$ | ||
| + | y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | По оси $X$ движение частицы равномерное: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | x=v_0t. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x}{v_0}\right). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Координаты $x_f$ на оси $X$, при которых частица оказывается на этой оси ($y=0$), должны удовлетворять, конечно, равенству: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | 0=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right), | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | или: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | 0=\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Таким образом мы доказали, что при данных начальных условиях координата $x_f$ в общем случае не зависит от начального положения частицы на оси $Y$. | ||
| + | |||
| + | Найдем все возможные значения $x_f$. Из предыдущего уравнения имеем: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}=\frac\pi2+\pi n \quad (n=0,1,2,\ldots). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | То есть: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0 \quad (n=0,1,2,\ldots). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ: Частицы собираются на расстояниях $x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0,$ где $n=0,1,2,\ldots$ | ||
| @@ -1,17 +1,59 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.3.9.$ [Вставьте условие задачи] | $3.3.9.$ Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси $OO'$, если скорость каждой частицы пучка в сечении $OO''$ равна $v_0$, а сила, действующая на частицу, $\boldsymbol F = −k\boldsymbol r$, где $r$ есть расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения $OO''$ фокусируются частицы, если масса каждой из них равна $m$? | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | Направим ось $Y$ вдоль оси $OO''$ вверх, ось $X$ направим вдоль оси $OO'$ вправо согласно рисунку к задаче (начало координат в точке $O$ этого рисунка). Пусть частица пучка в начальный момент времени имеет координаты $x_0=0$ и $y_0>0$, а ее скорость $v_0$ направдена вдоль оси $X$ вправо. Для этой частицы запишем уравнение сил в дифференциальной форме в проекции на ось $Y$: | ||
| Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в | $$ | ||
| некоторых определенных точках оси OO0 | -ky=m\ddot{y}. | ||
| , если скорость каждой частицы пучка | $$ | ||
| в сечении OO00 равна v0, а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r — | |||
| расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO00 фокусируются частицы, если масса каждой из них равна m? | |||
| #### Ответ | Это уравнение гармонических колебаний вдоль оси $Y$. С учетом начальных условий координата по этой оси меняется по закону: | ||
| $$ | |||
| y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}t\right). | |||
| $$ | |||
| По оси $X$ движение частицы равномерное: | |||
| $$ | |||
| x=v_0t. | |||
| $$ | |||
| Подставив это уравнение в предыдущее, получаем зависимость $y(x)$: | |||
| $$ | |||
| y=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x}{v_0}\right). | |||
| $$ | |||
| Координаты $x_f$ на оси $X$, при которых частица оказывается на этой оси ($y=0$), должны удовлетворять, конечно, равенству: | |||
| $$ | |||
| 0=y_0\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right), | |||
| $$ | |||
| или: | |||
| $$ | |||
| 0=\cos\left(\sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}\right). | |||
| $$ | |||
| Таким образом мы доказали, что при данных начальных условиях координата $x_f$ в общем случае не зависит от начального положения частицы на оси $Y$. | |||
| Найдем все возможные значения $x_f$. Из предыдущего уравнения имеем: | |||
| $$ | |||
| \sqrt\frac{k\strut}{m}\frac{x_f}{v_0}=\frac\pi2+\pi n \quad (n=0,1,2,\ldots). | |||
| $$ | |||
| То есть: | |||
| $$ | |||
| x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0 \quad (n=0,1,2,\ldots). | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: Частицы собираются на расстояниях $x_f=\pi\left(\frac12+n\right)\sqrt\frac{m\strut}{k}v_0,$ где $n=0,1,2,\ldots$ | |||