Решение

Центробежную силу $m\omega^2\vec r$ можно разложить на компоненты прямоугольной системы координат ($\vec r =x\hat x+y\hat y$). Тогда если начало координат совместить с $m_1$, ось $x$ направить к $m_3$, то можно для $m_3$ записать

$$m_3\omega^2 y_c = T_{23}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_c =\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{l\sqrt 3}{2}.$$

Отсюда получаем ответ (зная, что остальные два натяжения получаются перестановкой индексов):

$$T_{ij}\Bigg\rvert_{i\neq j} = \frac{m_im_j}{m_1+m_2+m_3}\omega^2l.$$