Edit to “Ответ”
ru/2.2.26.md
+3 −1
| ### Условие: | |||
| $2.2.26^*.$ Три точечные массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ связаны нитями длины $l$ и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей. | |||
| ### Решение: | |||
| Центробежную силу $m\omega^2\vec r$ можно разложить на компоненты прямоугольной системы координат ($\vec r =x\hat x+y\hat y$). Тогда если начало координат совместить с $m_1$, ось $x$ направить к $m_3$, то можно для $m_3$ записать | |||
| $$ | |||
| m_3\omega^2 y_c = T_{23}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_c =\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{l\sqrt 3}{2}. | |||
| $$ | |||
| Отсюда получаем ответ (зная, что остальные два натяжения получаются перестановкой индексов): | |||
| $$ | |||
| T_{ij}\Bigg\rvert_{i\neq j} = \frac{m_im_j}{m_1+m_2+m_3}\omega^2l. | |||
| $$ | |||
| @@ -19,5 +19,7 @@Решение: | |||
| #### Ответ: | |||
| $$ | |||
| − | T_{12}= | ||
| + | T_{12}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 ; | ||
| + | T_{13}=\frac{m_1m_3}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 ; | ||
| + | T_{23}=\frac{m_2m_3}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 | ||
| $$ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.2.26^*.$ Три точечные массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ связаны нитями длины $l$ и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей. | $2.2.26^*.$ Три точечные массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ связаны нитями длины $l$ и вращаются с угловой скоростью $\omega$ вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей. | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Центробежную силу $m\omega^2\vec r$ можно разложить на компоненты прямоугольной системы координат ($\vec r =x\hat x+y\hat y$). Тогда если начало координат совместить с $m_1$, ось $x$ направить к $m_3$, то можно для $m_3$ записать | Центробежную силу $m\omega^2\vec r$ можно разложить на компоненты прямоугольной системы координат ($\vec r =x\hat x+y\hat y$). Тогда если начало координат совместить с $m_1$, ось $x$ направить к $m_3$, то можно для $m_3$ записать | ||
| $$ | $$ | ||
| m_3\omega^2 y_c = T_{23}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_c =\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{l\sqrt 3}{2}. | m_3\omega^2 y_c = T_{23}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_c =\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{l\sqrt 3}{2}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда получаем ответ (зная, что остальные два натяжения получаются перестановкой индексов): | Отсюда получаем ответ (зная, что остальные два натяжения получаются перестановкой индексов): | ||
| $$ | $$ | ||
| T_{ij}\Bigg\rvert_{i\neq j} = \frac{m_im_j}{m_1+m_2+m_3}\omega^2l. | T_{ij}\Bigg\rvert_{i\neq j} = \frac{m_im_j}{m_1+m_2+m_3}\omega^2l. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -19,5 +19,7 @@Решение: | |||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| T_{12}= |
T_{12}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 ; | ||
| T_{13}=\frac{m_1m_3}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 ; | |||
| T_{23}=\frac{m_2m_3}{m_1+m_2+m_3}l\omega^2 | |||
| $$ | $$ | ||