Edits to “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #13575 parent #13536 ← older
ru/3.3.17.md +56 −3
@@ -4,10 +4,63 @@Условие
### Решение
−![|755x977, 100%](../../img/3.3.17/scan-0.png)
+В общем виде уравнение движения для первого маятника можно записать так (имеется в виду проекция движения на ось x):
+\[
+x(t) = A \cdot \sin (\omega t + \varphi)
+\]
+Поскольку в момент \( t=0 \) отклонения от положения равновесия нет \( x(0)=0 \), то начальная фаза равна 0: \( \varphi=0 \). Тогда перепишем уравнение для первого маятника:
−#### Ответ
+\[
+x_1(t) = A \cdot \sin (\omega t)
+\]
−$t=\frac{T}{4} + \frac{\tau}{2}$
+Для второго маятника, поскольку его характеристики идентичны первому, уравнение движения будет аналогичным с той лишь разницей, что по времени она будет сдвинута на величину \( \tau \):
+
+\[
+x_2(t) = A \cdot \sin (\omega (t - \tau))
+\]
+
+где круговая частота \( \omega = \frac{2\pi}{T} \). Маятники встретятся, когда их координаты станут равными:
+
+\[
+\sin (\omega t) = \sin (\omega (t - \tau))
+\]
+
+Применим тригонометрическую формулу разности синусов, получим:
+
+\[
+2 \sin \left(\frac{\omega \tau}{2} \right) \cos \left(\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} \right) = 0
+\]
+
+По условию задачи \( \tau < T/2 \) и \( \tau \neq 0 \). Это значит, что \( \sin \left(\frac{\omega \tau}{2} \right) \neq 0 \) и на него можно сократить:
+
+\[
+\cos \left(\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} \right) = 0
+\]
+
+\[
+\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
+\]
+
+Решая относительно \( t \), получим:
+
+\[
+t = \frac{\tau}{2} + \frac{\pi}{2\omega} + \frac{2\pi k}{2\omega}
+\]
+
+Выразим частоту через период \( \omega = \frac{2\pi}{T} \), и после сокращений получим:
+
+\[
+t = \frac{\tau}{2} + \frac{T}{4} + k \frac{T}{2}
+\]
+
+Наименьшее положительное значение \( t \) соответствует \( k=0 \):
+
+\[
+\boxed{t = \frac{\tau}{2} + \frac{T}{4}}
+\]
+
+
+#### Ответ: $t=\frac{T}{4} + \frac{\tau}{2}$