Решение

Удлинение суток связано с увеличением момента инерции Земли из-за перераспределения масс. Если масса льда тает вблизи оси вращения (южный полюс) и перераспределяется в виде воды в Мировом океане, то момент инерции Земли увеличивается, и, согласно закону сохранения момента импульса, угловая скорость вращения Земли уменьшается, что ведёт к увеличению продолжительности суток.

Будем считать Землю сплошным однородным шаром массы $M$ и радиусом $R$ с моментом инерции $I = \frac{2}{5} M R^2$. Обозначим начальную угловую скорость Земли (до таяния льда) как:

$$\omega = \frac{2\pi}{T},$$

где $T$ — длительность суток на Земле. После завершения таяния льда длительность суток увеличилась и стала $T + \Delta T$. Соответственно, Земля стала вращаться с угловой скоростью:

$$\omega_1 = \frac{2\pi}{T + \Delta T}.$$

При этом момент инерции изменился на $\Delta I$ и стал равен:

$$I_1 = I + \Delta I.$$

Согласно закону сохранения момента импульса:

$$I \omega = I_1 \omega_1.$$

Поскольку $\Delta T \ll T$, разложим $\omega_1$ в ряд Тейлора:

$$\omega_1 \approx \omega \left(1 - \frac{\Delta T}{T} \right).$$

Подставляя в закон сохранения импульса:

$$I \omega = (I + \Delta I) \omega \left(1 - \frac{\Delta T}{T} \right).$$

Пренебрегая малым членом второго порядка, получаем:

$$I \omega \approx I \omega - I \omega \frac{\Delta T}{T} + \Delta I \omega.$$

Отсюда:

$$\Delta I = I \frac{\Delta T}{T}.$$

Подставляем момент инерции:

$$\Delta I = \frac{2}{5} M R^2 \frac{\Delta T}{T}.$$

Растаявшая вода представляет собой водяную сферу массы $m$ на поверхности Земли, поэтому можно записать, что $\Delta I$ будет равно моменту инерции пустотелой сферы радиуса $R$ и массы $m$:

$$\Delta I = \frac{2}{3} m R^2.$$

Приравнивая:

$$\frac{2}{3} m R^2 = \frac{2}{5} M R^2 \frac{\Delta T}{T}.$$

Выражаем $m$:

$$m = \frac{3}{5} M \frac{\Delta T}{T}.$$

Подставляя численные значения ($M = 5.97 \times 10^{24}$ кг, $T = 86400$ с, $\Delta T = 10^{-3}$ с за 40 лет), получаем:

$$m \approx 4 \times 10^{16} \text{ кг}.$$