$2.4.40.$ При равномерном подъеме груза массы $m$ угловая скорость вала двигателя подъемника $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$, где $\omega_{0}$ — угловая скорость вала при отсутствии груза, а $m_{0}$ — масса наиболее тяжелого груза, который можно поднять на этом подъемнике. Как зависит полезная мощность подъемника от угловой скорости вала? Какими порциями нужно поднимать груз, чтобы за определенное время поднять на некоторую высоту груз наибольшей массы?
### Решение
Перед решением задачи хочу сразу отметить, что в постановке задачи авторы забыли указать радиус вала (или барабана) двигателя. Ответ для полезной мощности, который в задачнике, не соответствует размерности. Там не хватает метров. Я привожу своё решение и уверен, что оно корректное. Опечаток и неточностей в задачнике хватает, но чтобы не хватало данных в задаче - такое впервые. Странно, что раньше проходил мимо этой задачи.
Полезная мощность подъемника определяется так:
$$N=F\upsilon$$
где $F=mg$ - сила тяжести груза, $\upsilon=\omega R$ - линейная скорость подъема (если груз поднимается с помощью вала (барабана) радиусом $R$). Подставляя скорость и силу, получим:
$$N=mg\omega R$$
По условию задачи нам известна зависимость угловой скорости от массы груза $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$. Выразим из неё массу груза:
Это и есть зависимость полезной мощности подъемника от угловой скорости вала. Как видно это парабола, ветви которой направлены вниз, а значит она имеет максимум. Для нахождения максимума (оптимальной угловой скорости) продифференцируем:
Таким образом, если требуется поднять общий груз $M$, то его нужно разбить на части массой $\frac{m_{0}}{2}$, что обеспечит максимальную эффективность.
$2.4.40.$ При равномерном подъеме груза массы $m$ угловая скорость вала двигателя подъемника $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$, где $\omega_{0}$ — угловая скорость вала при отсутствии груза, а $m_{0}$ — масса наиболее тяжелого груза, который можно поднять на этом подъемнике. Как зависит полезная мощность подъемника от угловой скорости вала? Какими порциями нужно поднимать груз, чтобы за определенное время поднять на некоторую высоту груз наибольшей массы?
$2.4.40.$ При равномерном подъеме груза массы $m$ угловая скорость вала двигателя подъемника $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$, где $\omega_{0}$ — угловая скорость вала при отсутствии груза, а $m_{0}$ — масса наиболее тяжелого груза, который можно поднять на этом подъемнике. Как зависит полезная мощность подъемника от угловой скорости вала? Какими порциями нужно поднимать груз, чтобы за определенное время поднять на некоторую высоту груз наибольшей массы?
### Решение
### Решение
Перед решением задачи хочу сразу отметить, что в постановке задачи авторы забыли указать радиус вала (или барабана) двигателя. Ответ для полезной мощности, который в задачнике, не соответствует размерности. Там не хватает метров. Я привожу своё решение и уверен, что оно корректное. Опечаток и неточностей в задачнике хватает, но чтобы не хватало данных в задаче - такое впервые. Странно, что раньше проходил мимо этой задачи.
Перед решением задачи хочу сразу отметить, что в постановке задачи авторы забыли указать радиус вала (или барабана) двигателя. Ответ для полезной мощности, который в задачнике, не соответствует размерности. Там не хватает метров. Я привожу своё решение и уверен, что оно корректное. Опечаток и неточностей в задачнике хватает, но чтобы не хватало данных в задаче - такое впервые. Странно, что раньше проходил мимо этой задачи.
Полезная мощность подъемника определяется так:
Полезная мощность подъемника определяется так:
$$N=F\upsilon$$
$$N=F\upsilon$$
где $F=mg$ - сила тяжести груза, $\upsilon=\omega R$ - линейная скорость подъема (если груз поднимается с помощью вала (барабана) радиусом $R$). Подставляя скорость и силу, получим:
где $F=mg$ - сила тяжести груза, $\upsilon=\omega R$ - линейная скорость подъема (если груз поднимается с помощью вала (барабана) радиусом $R$). Подставляя скорость и силу, получим:
$$N=mg\omega R$$
$$N=mg\omega R$$
По условию задачи нам известна зависимость угловой скорости от массы груза $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$. Выразим из неё массу груза:
По условию задачи нам известна зависимость угловой скорости от массы груза $\omega=\omega_{0}\left( 1-\frac{m}{m_{0}}\right)$. Выразим из неё массу груза:
Это и есть зависимость полезной мощности подъемника от угловой скорости вала. Как видно это парабола, ветви которой направлены вниз, а значит она имеет максимум. Для нахождения максимума (оптимальной угловой скорости) продифференцируем:
Таким образом, если требуется поднять общий груз $M$, то его нужно разбить на части массой $\frac{m_{0}}{2}$, что обеспечит максимальную эффективность.
