Edits to “Условие”, “Решение”

astrosander edited
View solution History
revision #13695 parent #13654 ← older newer →
ru/2.4.21.md +99 −4
@@ -1,18 +1,113 @@
### Условие
$2.4.21.$ На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, соединенных пружиной жесткости $k$ и длины $l_{0}$. На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила $F$, направленная вдоль пружины. Найдите минимальное и максимальное расстояния между брусками.
−![К задаче $2.4.21$ |323x220, 31%](../../img/2.4.21/scan-0.png)
+![К задаче $2.4.21$|448x187, 35%](../../img/2.4.21/2.4.21.png)
−
### Решение
+Проведем ось X вдоль стола сонаправленно с действием силы $\mathbf{F}$.
+Поскольку на систему вдоль оси X никакие внешние силы, кроме силы $\mathbf{F}$, не действуют, то движение центра масс системы можно определить по второму закону Ньютона:
−![ |795x1124, 100%](../../img/2.4.21/scan-1.png)
+\begin{equation}
+ Ma = F
+\end{equation}
+где $M = 2m$ - масса системы. Отсюда ускорение, с которым движется центр масс системы:
−![ |795x1124, 100%](../../img/2.4.21/scan-2.png)
+\begin{equation}
+ a = \frac{F}{2m}
+\end{equation}
+Теперь рассмотрим относительное движение одного бруска по отношению к другому. Внутри системы действует сила упругости $k(x - l_0)$, где $x$ - текущее расстояние между брусками. Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром масс. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось X для левого бруска:
+
+\begin{equation}
+ m\ddot{x} = -k(x - l_0) + ma
+\end{equation}
+
+Подставляя ускорение, получим:
+
+\begin{equation}
+ m\ddot{x} = -k(x - l_0) + \frac{F}{2}
+\end{equation}
+
+Введём относительную координату $\xi = x - l_0$ и перепишем наше уравнение движения:
+
+\begin{equation}
+ m\ddot{\xi} = -k\xi + \frac{F}{2}
+\end{equation}
+
+Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения известно:
+
+\begin{equation}
+ \xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
+\end{equation}
+
+Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде $\xi_{part}(t) = D$, где $D$ - некоторая константа. Подставим частное решение в уравнение:
+
+\begin{equation}
+ 0 = -kD + \frac{F}{2}
+\end{equation}
+
+Откуда
+
+\begin{equation}
+ D = \frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:
+
+\begin{equation}
+ \xi(t) = A \cos(\omega t + \varphi) + \frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями. В начальный момент пружина не растянута $\xi(0) = 0$, и скорости тоже нет $\dot{\xi}(0) = 0$:
+
+\begin{equation}
+ \dot{\xi}(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)
+\end{equation}
+
+Подставляя $t=0$, получаем:
+
+\begin{equation}
+ 0 = -\omega A \sin(\varphi)
+\end{equation}
+
+Откуда $\varphi = 0$. Найдём амплитуду колебаний:
+
+\begin{equation}
+ 0 = A + \frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Откуда
+
+\begin{equation}
+ A = -\frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Итак, решением дифференциального уравнения с начальными условиями будет:
+
+\begin{equation}
+ \xi(t) = -\frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Вернёмся к переменной $x$:
+
+\begin{equation}
+ x(t) = l_0 - \frac{F}{2k} \cos(\omega t) + \frac{F}{2k}
+\end{equation}
+
+Минимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = 1$:
+
+\begin{equation}
+ \boxed{l_{min} = l_0 - \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0}
+\end{equation}
+
+Максимальное расстояние между брусками будет при $\cos(\omega t) = -1$:
+
+\begin{equation}
+ \boxed{l_{max} = l_0 + \frac{F}{2k} + \frac{F}{2k} = l_0 + \frac{F}{k}}
+\end{equation}
unchanged lines 6