Решение

Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости.

$$A=A_{p}+\Delta U$$

Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки:

$$F=PS=\rho gh \cdot \pi r^{2}$$

Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет:

$$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot \pi r^{2}l$$

Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости:

$$V=\pi r^{2}l$$

Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд} \cdot \Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$:

$$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$

Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды:

$$m=\rho V=\rho \pi r^{2}l$$

Изменение потенциальной энергии:

$$\Delta U=mg\frac{\Delta H}{2}=\rho \pi r^{2}lg\frac{\Delta H}{2}$$

Подставим $\Delta H$ в формулу:

$$\Delta U=\frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$

Итак, наша искомая работа будет равна:

$$A=\rho gh \cdot \pi r^{2}l + \frac{\rho \pi r^{2}lg}{2} \cdot \frac{r^{2}l}{R^{2}}$$
$$A=\pi r^{2}\left( h+\frac{1}{2}l\frac{r^{2}}{R^{2}} \right)\rho gl$$