Решение

Объем первого груза: $V_{1}=\frac{m}{\rho_{1}^{'}}$, объем второго груза: $V_{2}=\frac{m}{\rho_{2}^{'}}$. Вес первого груза с учетом силы Архимеда:

$$P_{1}=mg-F_{A1}=mg-\rho_{1}gV_{1}=mg-\rho_{1}g\frac{m}{\rho_{1}^{'}}$$

Вес второго груза с учетом силы Архимеда:

$$P_{2}=mg-F_{A2}=mg-\rho_{2}gV_{2}=mg-\rho_{2}g\frac{m}{\rho_{2}^{'}}$$

Так как коромысло остается в равновесии, веса грузов равны:

$$mg-\rho_{1}g\frac{m}{\rho_{1}^{'}}=mg-\rho_{2}g\frac{m}{\rho_{2}^{'}}$$

После сокращений:

$$1-\frac{\rho_{1}}{\rho_{1}^{'}}=1-\frac{\rho_{2}}{\rho_{2}^{'}}$$
$$\frac{\rho_{1}^{'}}{\rho_{2}^{'}}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}$$