Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/4.1.23.md
+36 −3
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.1.23.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $4.1.23.$ Закрытый цилиндр радиуса $R$, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности $\rho$, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра? | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | dfg | ||
| + | Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид: | ||
| + | $$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$ | ||
| + | |||
| + | где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{dP}{dr}=\rho \omega^{2}r$$ | ||
| + | |||
| + | Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$. | ||
| + | |||
| + | $$V_{ц}-V_{п}=V_{ж}$$ | ||
| + | $$\pi R^{2}H-\pi r_{0}^{2}H=\frac{3}{4}\pi R^{2}H$$ | ||
| + | $$R^{2}-r_{0}^{2}=\frac{3}{4}R^{2}$$ | ||
| + | $$r_{0}=\frac{R}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$ | ||
| + | |||
| + | $$\int_{P(r_{0})}^{P(r)}dP=\rho \omega^{2}\int_{r_{0}}^{r_{0}+r}rdr$$ | ||
| + | $$P(r)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( r_{0}+r \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | ||
| + | |||
| + | Так изменяется давление в зависимости от расстояния от оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$: | ||
| + | |||
| + | $$R-(r_{0}+r)=x$$ | ||
| + | $$r=R-r_{0}-x$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим $r$ в уравнение для давления: | ||
| + | |||
| + | $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | ||
| + | |||
| + | Теперь подставим значение $r_{0}=\frac{R}{2}$ и окончательно получим: | ||
| + | |||
| + | $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$ | ||
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.1.23.$ [Вставьте условие задачи] | $4.1.23.$ Закрытый цилиндр радиуса $R$, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности $\rho$, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра? | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfg | Так как цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$, внутри него действует сила инерции, эквивалентная центробежной силе. Эта сила действует на каждый элементарный объём жидкости по радиусу от оси вращения цилиндра наружу и имеет вид: | ||
| $$dF=dm \omega^{2}r=\rho dV\omega^{2}r$$ | |||
| где $r$ — расстояние от оси вращения. Эта сила играет роль "искусственной гравитации", направленной от оси вращения к боковой стенке цилиндра. Таким образом, вода в цилиндре прижимается к боковой стенке, формируя поверхность жидкости, аналогичную поверхности воды в гравитационном поле. Учитывая, что давление $dP=\frac{dF}{S}$, получим запись второго закона Ньютона в виде: | |||
| $$\frac{dP}{dr}=\rho \omega^{2}r$$ | |||
| Найдем расстояние от оси вращения до поверхности воды $r_{0}$. Весь объём цилиндра составляет $V_{ц}=\pi R^{2}H$, где $H$ - высота цилиндра. Объём пустого пространства $V_{п}=\pi r_{0}^{2}H$. По условию задачи объём, заполненный жидкостью $V_{ж}=\frac{3}{4}V_{ц}$. | |||
| $$V_{ц}-V_{п}=V_{ж}$$ | |||
| $$\pi R^{2}H-\pi r_{0}^{2}H=\frac{3}{4}\pi R^{2}H$$ | |||
| $$R^{2}-r_{0}^{2}=\frac{3}{4}R^{2}$$ | |||
| $$r_{0}=\frac{R}{2}$$ | |||
| Теперь мы сможем проинтегрировать дифференциальное уравнение для давления с начальным условием, что давление на поверхности жидкости равно 0: $P(r_{0})=0$ | |||
| $$\int_{P(r_{0})}^{P(r)}dP=\rho \omega^{2}\int_{r_{0}}^{r_{0}+r}rdr$$ | |||
| $$P(r)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( r_{0}+r \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | |||
| Так изменяется давление в зависимости от расстояния от оси вращения, но нас просят найти зависимость давления от расстояния от боковой стенки цилиндра $x$. Это расстояние связано с $r$: | |||
| $$R-(r_{0}+r)=x$$ | |||
| $$r=R-r_{0}-x$$ | |||
| Подставим $r$ в уравнение для давления: | |||
| $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-r_{0}^{2} \right]$$ | |||
| Теперь подставим значение $r_{0}=\frac{R}{2}$ и окончательно получим: | |||
| $$P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $P(x)=\frac{\rho \omega^{2}}{2}\left[ \left( R-x \right)^{2}-\frac{R^{2}}{4} \right]$ | ||