Решение

Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре представляет собой часть сферической поверхности вписанной в конус. Радиус этой сферы $R=\frac{r}{\cos\frac{\alpha}{2}}$, где $r$ - радиус капилляра на той высоте, до которой поднимается жидкость. Под вогнутой сферической поверхностью радиуса $R$ давление в жидкости менше атмосферного на величину лапласового давления и равна:

$$P=P_{0}-\frac{2\sigma}{R}=P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$

На уровне поверхности жидкости в широком сосуде давление в капилляре равно $P+\rho gh$ и равно атмосферному давлению:

$$P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}+\rho gh=P_{0}$$
$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$

Радиус капилляра можна выразить так: $r=(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}$. учитывая это, запишем:

$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}}$$

По условию задачи угол при вершине капилляра мал, тогда $\cos\frac{\alpha}{2} \approx 1$ и $\tan\frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$:

$$\rho gh=\frac{4\sigma}{(H-h)\alpha}$$

Получаем квадратное уравнение относительно $h$:

$$h^{2}-Hh+\frac{4\sigma}{\rho g\alpha}=0$$