Решение

Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре представляет собой часть сферической поверхности вписанной в конус. Радиус этой сферы $R=\frac{r}{\cos\frac{\alpha}{2}}$, где $r$ - радиус капилляра на той высоте, до которой поднимается жидкость. Под вогнутой сферической поверхностью радиуса $R$ давление в жидкости меньше атмосферного на величину лапласового давления и равна:

$$P=P_{0}-\frac{2\sigma}{R}=P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$

На уровне поверхности жидкости в широком сосуде давление в капилляре равно $P+\rho gh$ и равно атмосферному давлению:

$$P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}+\rho gh=P_{0}$$
$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$

Радиус капилляра можно выразить так: $r=(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}$. учитывая это, запишем:

$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}}$$

По условию задачи угол при вершине капилляра мал, тогда $\cos\frac{\alpha}{2} \approx 1$ и $\tan\frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$:

$$\rho gh=\frac{4\sigma}{(H-h)\alpha}$$

Получаем квадратное уравнение относительно $h$:

$$h^{2}-Hh+\frac{4\sigma}{\rho g\alpha}=0$$

Дискриминант уравнения: $\mathscr{D}=H^{2}-\frac{16\sigma}{\rho g\alpha}$. При $\alpha\lt \frac{16\sigma}{\rho gH^{2}}$ дискриминант $\mathscr{D}\lt 0$ уравнение не имеет корней, это означает, что жидкость поднимется до самого верха и займет весь объём капилляра. В этом случае $h=H$.

При $\alpha\gt \frac{16\sigma}{\rho gH^{2}}$ уравнение имеет два корня:

$$h_{1}=\frac{1}{2}H\left( 1-\sqrt{1-\frac{16\sigma}{\rho g\alpha H^{2}}} \right)$$
$$h_{2}=\frac{1}{2}H\left( 1+\sqrt{1-\frac{16\sigma}{\rho g\alpha H^{2}}} \right)$$

Оба корня имеют право на существование, но давайте проанализируем, будут ли эти две высоты подъёма жидкости устойчивыми точками равновесия. Для этого вернёмся к уравнению:

$$\rho gh=\frac{4\sigma}{(H-h)\alpha}$$

Выражение в левой части уравнения - это гидростатическое давление столба жидкости высоты $h$ (обозначим его $P_{Г}$). Выражение в правой части - это давление, возникающее благодаря действию сил поверхностного натяжения (обозначим его $P_{К}$). Схематические графики зависимости $P_{Г}$ и $P_{К}$ от $h$ приведены ниже:

Точки пересечения графиков соответствуют найденным значениям $h_{1}$ и $h_{2}$, то есть положениям равновесия жидкости в капилляре. Давайте чуть-чуть увеличим высоту $h_{1}$. В этом случае $P_{К}$ увеличится меньше, чем $P_{Г}$, следовательно, поверхность жидкости опустится, вернувшись к уровню $h_{1}$. При уменьшении высоты $h_{1}$ получим, что $P_{К}$ уменьшится меньше, чем $P_{Г}$, благодаря чему уровень жидкости увеличится до $h_{1}$. Это означает, что $h_{1}$ - есть устойчивой точкой равновесия:

$$h_{1}=\frac{1}{2}H\left( 1-\sqrt{1-\frac{16\sigma}{\rho g\alpha H^{2}}} \right)$$

Точно так же, рассматривая положение равновесия $h_{2}$, можно показать, что оно является неустойчивым. При незначительном уменьшении уровня жидкости он будет продолжать уменьшаться до $h_{1}$, а при увеличении уровня жидкости будет увеличиваться до верхнего предела капилляра $H$. Значит решение $h_{2}$ мы должны исключить из ответа.